Manganês é um metal que cristaliza na estrutura bcc (body centered cubic), uma estrutura cúbica com átomos nos cantos e nos centros dos cubos.
A densidade de manganês é 7,47 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e a massa atômica é 54,938045 \mathrm{u}\left(1 \mathrm{u}=1,66053892 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg}\right).
Quanto é o raio atômico de manganês?
Escolha uma opção:
125,6 \mathrm{pm}
144,5 \mathrm{pm}
196,5 \mathrm{~nm}
125,6 \mathrm{~nm}
144,5 \mathrm{~nm}
196,5 \mathrm{pm}

Passo 1

O enunciado pede o raio atômico do manganês, dadas as seguintes informações:
  • Estrutura cristalina: bcc (body centered cubic).
  • Densidade: \rho = 7{,}47\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Massa atômica: M = 54{,}938045\\ \mathrm{u} com 1\\ \mathrm{u} = 1{,}66053892\cdot10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Opções possíveis (todas em pm ou nm).
O que precisamos encontrar explicitamente é o raio atômico r (em picômetros, \mathrm{pm}) correspondente à estrutura bcc e aos dados fornecidos.

Passo 2

Entendendo a geometria da rede bcc (passo didático):
  • Uma célula unitária cúbica bcc tem átomos nos 8 cantos e 1 átomo no centro do cubo. Cada átomo de canto é compartilhado por 8 células, então o número efetivo de átomos por célula é
N_{\text{átomos}} = 8\cdot\frac{1}{8} + 1 = 2.á
  • Os átomos, modelados como esferas rígidas, se tocam ao longo da diagonal do cubo (diagonal espacial, ou diagonal do corpo). Ao longo dessa diagonal há um átomo num canto, o átomo do centro e o átomo do canto oposto; a soma dos raios ao longo dessa linha é 4r. A diagonal do corpo mede \sqrt{3}\,a, onde a é o parâmetro de rede (lado do cubo). Portanto vale a relação geométrica fundamental para bcc:
\sqrt{3}\,a = 4r \quad\Rightarrow\quad r = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a.
Explicação curta: do canto até o centro há r + r = 2r (um raio do átomo do canto até a superfície e o raio do átomo central até sua superfície), e somando os dois lados da diagonal totaliza 4r.

Passo 3

Converter massa atômica para kg e calcular massa por célula:
  • Converter M para kg usando 1\\ \mathrm{u}=1{,}66053892\cdot10^{-27}\\ \mathrm{kg}:
m_{\text{átomo}} = M \times 1{,}66053892\cdot10^{-27}\\ \mathrm{kg}á
m_{\text{átomo}} = 54{,}938045 \times 1{,}66053892\cdot10^{-27}\\ \mathrm{kg}á
Calculo numérico:
m_{\text{átomo}} \approx 9{,}12267619\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.á
  • Como há 2 átomos por célula unitária,
m_{\text{célula}} = 2\,m_{\text{átomo}} \approx 1{,}82453524\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.éá

Passo 4

Converter a densidade para unidades SI e obter o volume da célula unitária:
  • Converter \rho de \mathrm{g/cm^{3}} para \mathrm{kg/m^{3}}:
\rho = 7{,}47\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 7{,}47\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • A densidade relaciona massa e volume da célula:
\rho = \frac{m_{\text{célula}}}{V_{\text{célula}}} \quad\Rightarrow\quad V_{\text{célula}}=\frac{m_{\text{célula}}}{\rho}.éééé
Substituindo os valores:
V_{\text{célula}} \approx \frac{1{,}82453524\times10^{-25}}{7{,}47\times10^{3}}\\ \mathrm{m^{3}} \approx 2{,}44341\times10^{-29}\\ \mathrm{m^{3}}.é

Passo 5

Calcular o parâmetro de rede a a partir do volume:
a = \sqrt[3]{V_{\text{célula}}} = \sqrt[3]{2{,}44341\times10^{-29}}\\ \mathrm{m}.é
Cálculo numérico:
a \approx 2{,}902\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 290{,}2\\ \mathrm{pm}.

Passo 6

Calcular o raio atômico r usando a relação bcc:
r = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a.
Substituindo a:
r \approx \frac{\sqrt{3}}{4}\times 290{,}2\\ \mathrm{pm}.
Avaliação numérica:
\frac{\sqrt{3}}{4}\approx 0{,}4330127,
r \approx 0{,}4330127 \times 290{,}2\\ \mathrm{pm} \approx 125{,}6\\ \mathrm{pm}.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: fizemos as conversões de unidades, usamos que uma célula bcc contém 2 átomos, calculamos o parâmetro de rede a partir da densidade e da massa por célula e então aplicamos a relação geométrica \sqrt{3}\,a=4r. Pronto — é esse o procedimento que recomenda levar para a prova: converter tudo para SI, achar massa por célula, volume por célula, extrair a e então usar a relação geométrica para r. Você mandou bem chegando até aqui — respira, anota os passos e repete com outro metal se quiser treinar.

Resposta

125{,}6\\ \mathrm{pm}

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