Manganês é um metal que cristaliza na estrutura bcc (body centered cubic), uma estrutura cúbica com átomos nos cantos e nos centros dos cubos.
A densidade de manganês é
e a massa atômica é
.
Quanto é o raio atômico de manganês?
Escolha uma opção:
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A densidade de manganês é
Quanto é o raio atômico de manganês?
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Passo 1
O enunciado pede o raio atômico do manganês, dadas as seguintes informações:
- Estrutura cristalina: bcc (body centered cubic).
- Densidade:
. - Massa atômica:
com . - Opções possíveis (todas em pm ou nm).
O que precisamos encontrar explicitamente é o raio atômico
(em picômetros,
) correspondente à estrutura bcc e aos dados fornecidos.
Passo 2
Entendendo a geometria da rede bcc (passo didático):
- Uma célula unitária cúbica bcc tem átomos nos 8 cantos e 1 átomo no centro do cubo. Cada átomo de canto é compartilhado por 8 células, então o número efetivo de átomos por célula é
- Os átomos, modelados como esferas rígidas, se tocam ao longo da diagonal do cubo (diagonal espacial, ou diagonal do corpo). Ao longo dessa diagonal há um átomo num canto, o átomo do centro e o átomo do canto oposto; a soma dos raios ao longo dessa linha é
. A diagonal do corpo mede , onde é o parâmetro de rede (lado do cubo). Portanto vale a relação geométrica fundamental para bcc:
Explicação curta: do canto até o centro há
(um raio do átomo do canto até a superfície e o raio do átomo central até sua superfície), e somando os dois lados da diagonal totaliza
.
Passo 3
Converter massa atômica para kg e calcular massa por célula:
- Converter
para kg usando :
Calculo numérico:
- Como há
átomos por célula unitária,
Passo 4
Converter a densidade para unidades SI e obter o volume da célula unitária:
- Converter
de para :
- A densidade relaciona massa e volume da célula:
Substituindo os valores:
Passo 5
Calcular o parâmetro de rede
a partir do volume:
Cálculo numérico:
Passo 6
Calcular o raio atômico
usando a relação bcc:
Substituindo
:
Avaliação numérica:
Passo 7
Resumo rápido e incentivo: fizemos as conversões de unidades, usamos que uma célula bcc contém 2 átomos, calculamos o parâmetro de rede a partir da densidade e da massa por célula e então aplicamos a relação geométrica
. Pronto — é esse o procedimento que recomenda levar para a prova: converter tudo para SI, achar massa por célula, volume por célula, extrair
e então usar a relação geométrica para
. Você mandou bem chegando até aqui — respira, anota os passos e repete com outro metal se quiser treinar.