Uma força de 500 N é aplicada sobre um fio de comprimento 4 m e área transversal circular de 2 \mathrm{~mm}^{2}.
Em reação, o fio é esticado por 6 mm , e o diâmetro diminui por 0,04%.
Calcule o módulo de compressibilidade.
Escolha uma opção:
◯ 167 Gpa
◯ 119 Gpa
◯ 93 Gpa
65,8 \mathrm{Gpa}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (já convertidos para unidades do SI):
  • Força aplicada: F=500\\ \mathrm{N}.
  • Comprimento inicial do fio: L_0=4\\ \mathrm{m}.
  • Área da secção transversal (circular): A_0=2\\ \mathrm{mm}^2 = 2\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
  • Alongamento observado: \Delta L=6\\ \mathrm{mm}=0,006\\ \mathrm{m}.
  • Diminuição do diâmetro: 0{,}04\%, ou seja variação relativa do diâmetro \dfrac{\Delta d}{d}=-0{,}0004.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o módulo de compressibilidade (ou seja, o módulo volumétrico K; ver explicação nos próximos passos).

Passo 2

Calcular a deformação axial (deformação longitudinal), que é a razão entre o alongamento e o comprimento inicial.
\varepsilon_\text{axial}=\frac{\Delta L}{L_0}=\frac{0,006}{4}=0{,}0015.
Explicação curta: a deformação axial é adimensional e mede a variação relativa no comprimento; aqui o fio alongou 0{,}15\%.

Passo 3

Calcular a deformação lateral (variação relativa do diâmetro), que foi dada:
\varepsilon_\text{lateral}=\frac{\Delta d}{d}=-0{,}0004.
Usar essa deformação lateral para obter a razão de Poisson \nu, cuja definição é
\nu = -\frac{\varepsilon_\text{lateral}}{\varepsilon_\text{axial}}.
Substituindo os valores:
\nu = -\frac{-0{,}0004}{0{,}0015}=\frac{0{,}0004}{0{,}0015}=0{,}266\bar{6}\approx0{,}2667.
Breve explicação didática: \nu é adimensional e indica quanto o material “estreita” lateralmente quando alongado; valores típicos de metais ficam em torno de 0{,}25 0{,}35.

Passo 4

Calcular a tensão axial média \sigma aplicada no fio:
\sigma=\frac{F}{A_0}=\frac{500}{2\times10^{-6}}=2{,}5\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}=250\\ \mathrm{MPa}.
Agora calcular o módulo de Young E pela relação linear elástica (Lei de Hooke para tração uniaxial):
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_\text{axial}}=\frac{2{,}5\times10^{8}}{0{,}0015}=1{,}666\overline{6}\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}\approx1{,}667\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais usuais:
E\approx167\\ \mathrm{GPa}.
Comentário curto: E mede a rigidez à tração/compressão uniaxial.

Passo 5

Explicar o que é o módulo de compressibilidade (módulo volumétrico) K e a relação com E e \nu.
  • O módulo volumétrico K (às vezes chamado de módulo de compressibilidade) relaciona a pressão hidrostática com a variação relativa de volume. Para materiais elásticos isotrópicos lineares existe a relação:
K = \frac{E}{3(1-2\nu)}.
Aqui E é o módulo de Young e \nu a razão de Poisson; a fórmula vem da teoria da elasticidade linear para sólidos isotrópicos.
Substituindo os valores calculados:
K=\frac{1{,}666\overline{6}\times10^{11}}{3\bigl(1-2\cdot0{,}266\overline{6}\bigr)} =\frac{1{,}666\overline{6}\times10^{11}}{3\bigl(1-0{,}533\overline{3}\bigr)} =\frac{1{,}666\overline{6}\times10^{11}}{3\cdot0{,}466\overline{6}}
Calcule o denominador numérico:
3\cdot0{,}466\overline{6}=1{,}4.
Portanto
K=\frac{1{,}666\overline{6}\times10^{11}}{1{,}4}=1{,}190476\ldots\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}\approx1{,}19\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.
Em GPa:
K\approx119\\ \mathrm{GPa}.

Passo 6

Interpretação final e escolha da opção: o módulo de compressibilidade (módulo volumétrico K) calculado é aproximadamente \,119\\ \mathrm{GPa}, que corresponde à segunda opção da lista.

Resposta

\,119\\ \mathrm{GPa}

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