Efetue as operações e transforme numa única fração:
\frac{1}{x+2}+\frac{3}{x}

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a soma e apresentar o resultado como uma única fração. As informações dadas são:
  • As parcelas são \dfrac{1}{x+2} e \dfrac{3}{x}.
    O que se pede: escrever \dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{x} como uma única fração simplificada.

Passo 2

Ideia básica (pedaço-a-pedaço, como numa prova): para somar frações com denominadores diferentes é preciso reescrevê-las com um mesmo denominador comum (o mínimo múltiplo comum dos denominadores) e então somar os numeradores.
Explicando o que é o mínimo múltiplo comum (MMC) para polinômios: dado x+2 e x, como não têm fator comum (ou seja, não podemos fatorar um em função do outro), o MMC é simplesmente o produto x(x+2). Também é importante notar as restrições do domínio: os denominadores não podem ser zero, logo x\neq 0 e x\neq -2.

Passo 3

Reescrever cada fração com o denominador comum x(x+2). Para isso multiplicamos numerador e denominador da primeira fração por x e da segunda por x+2:
\frac{1}{x+2}=\frac{1\cdot x}{(x+2)\cdot x}=\frac{x}{x(x+2)}
\frac{3}{x}=\frac{3\cdot (x+2)}{x\cdot (x+2)}=\frac{3(x+2)}{x(x+2)}

Passo 4

Agora que ambas têm o mesmo denominador, somamos os numeradores mantendo o denominador:
\frac{x}{x(x+2)}+\frac{3(x+2)}{x(x+2)}=\frac{x+3(x+2)}{x(x+2)}

Passo 5

Desenvolver (expandir) e simplificar o numerador passo a passo:
x+3(x+2)=x+3x+6=4x+6.
Então a fração fica
\frac{4x+6}{x(x+2)}.

Passo 6

Fatorar o numerador para ver se é possível simplificar:
4x+6=2(2x+3).
Como o denominador é x(x+2) e não possui o fator 2 nem o fator 2x+3 em comum (salvo valores específicos de x que violariam as restrições), não há cancelamento algébrico disponível. Mantemos a forma fatorada para ficar mais simples:
\frac{2(2x+3)}{x(x+2)}.
Lembrando as restrições: x\neq 0 e x\neq -2.

Resposta

\displaystyle \frac{2(2x+3)}{x(x+2)}

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