Um aluno deduziu que o período ( T ) de um pêndulo simples é dado por T=2 \pi \sqrt{\frac{g}{L}}, onde g é a aceleração da gravidade e L é o comprimento do fio. Realize a análise dimensional para verificar se essa equação está correta ou errada.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula proposta e pede uma verificação dimensional:
  • Fórmula dada: T=2\pi\sqrt{\dfrac{g}{L}}.
  • Variáveis fornecidas:
    • T é o período do pêndulo (tempo entre oscilações).
    • g é a aceleração da gravidade.
    • L é o comprimento do fio do pêndulo.
O que se pede: usar análise dimensional para verificar se a equação está correta ou errada (ou seja, checar se as dimensões de ambos os lados coincidem).

Passo 2

O que é análise dimensional (rápido e claro): toda equação física deve ter as mesmas dimensões no lado esquerdo e no lado direito. Para indicar dimensões, usa-se a notação [\cdot]. As dimensões fundamentais que precisamos são:
  • dimensão de tempo: [T]=\mathrm{T};
  • dimensão de comprimento: [L]=\mathrm{L}.
Agora identificar as dimensões das grandezas do problema:
  • T tem dimensão de tempo, então [T]=\mathrm{T}.
  • L tem dimensão de comprimento, então [L]=\mathrm{L}.
  • g é uma aceleração (variação de velocidade por unidade de tempo), logo suas unidades são comprimento por tempo ao quadrado; portanto [g]=\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2}.

Passo 3

Calcular a dimensão do lado direito da fórmula proposta. Começo dentro da raiz:
\left[\frac{g}{L}\right]=\frac{[g]}{[L]}=\frac{\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{L}}=\mathrm{T}^{-2}.
Agora a raiz quadrada:
\left[\sqrt{\frac{g}{L}}\right]=\sqrt{\mathrm{T}^{-2}}=\mathrm{T}^{-1}.
O fator numérico 2\pi é adimensional, então não altera dimensões. Portanto a dimensão do lado direito inteiro é \mathrm{T}^{-1}.

Passo 4

Comparar dimensões dos dois lados:
  • Lado esquerdo: [T]=\mathrm{T}.
  • Lado direito (calculado): \mathrm{T}^{-1}.
As dimensões não coincidem ( \mathrm{T}\neq\mathrm{T}^{-1}). Conclusão inicial: a fórmula dada está dimensionalmente inconsistente, isto é, errada.

Passo 5

Usando análise dimensional para achar a forma dimensionalmente correta (método útil na prova): suponha que
T = k\, L^{a}\, g^{b},
onde k\) é adimensional e \(a,b\) são expoentes reais a determinar. Igualando dimensões: \[[T]=[L^{a}g^{b}] = \mathrm{L}^{a}\,(\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2})^{b}=\mathrm{L}^{a+b}\,\mathrm{T}^{-2b}.
Igualando expoentes das dimensões (lado esquerdo é \mathrm{L}^{0}\mathrm{T}^{1}):
\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] -2b=1. \end{cases}
Da segunda equação b=-\tfrac{1}{2}\]. Da primeira \(a=-b=\tfrac{1}{2}. Então
T = k\, L^{1/2}\, g^{-1/2}=k\sqrt{\dfrac{L}{g}}.
Portanto a dependência dimensional correta é T\propto\sqrt{L/g}. A fórmula física do pêndulo pequeno é obtida por análise dinâmica (pequeno ângulo) e dá k=2\pi, resultando em
T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.]

Passo 6

Interpretação física curta (útil na prova): a fórmula correta indica que, mantendo tudo igual, aumentar o comprimento L aumenta T (mais comprimento = oscilações mais lentas) e aumentar g diminui T (gravidade maior = oscilações mais rápidas). A fórmula proposta T=2\pi\sqrt{\dfrac{g}{L}} sugeriria o oposto (aumentar g aumentaria T), o que é fisicamente absurdo — outro sinal de erro além da análise dimensional.

Resposta

Errada. A fórmula dada é dimensionalmente inconsistente; a forma dimensionalmente correta é T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.

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