Um aluno deduziu que o período (
) de um pêndulo simples é dado por
, onde
é a aceleração da gravidade e
é o comprimento do fio. Realize a análise dimensional para verificar se essa equação está correta ou errada.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula proposta e pede uma verificação dimensional:
- Fórmula dada:
. - Variáveis fornecidas:
-
é o período do pêndulo (tempo entre oscilações). -
é a aceleração da gravidade. -
é o comprimento do fio do pêndulo.
-
O que se pede: usar análise dimensional para verificar se a equação está correta ou errada (ou seja, checar se as dimensões de ambos os lados coincidem).
Passo 2
O que é análise dimensional (rápido e claro): toda equação física deve ter as mesmas dimensões no lado esquerdo e no lado direito. Para indicar dimensões, usa-se a notação
. As dimensões fundamentais que precisamos são:
- dimensão de tempo:
; - dimensão de comprimento:
.
Agora identificar as dimensões das grandezas do problema:
-
tem dimensão de tempo, então . -
tem dimensão de comprimento, então . -
é uma aceleração (variação de velocidade por unidade de tempo), logo suas unidades são comprimento por tempo ao quadrado; portanto .
Passo 3
Calcular a dimensão do lado direito da fórmula proposta. Começo dentro da raiz:
Agora a raiz quadrada:
O fator numérico
é adimensional, então não altera dimensões. Portanto a dimensão do lado direito inteiro é
.
Passo 4
Comparar dimensões dos dois lados:
- Lado esquerdo:
. - Lado direito (calculado):
.
As dimensões não coincidem (
). Conclusão inicial: a fórmula dada está dimensionalmente inconsistente, isto é, errada.
Passo 5
Usando análise dimensional para achar a forma dimensionalmente correta (método útil na prova): suponha que
onde
Igualando expoentes das dimensões (lado esquerdo é
):
Da segunda equação
. Então
Portanto a dependência dimensional correta é
. A fórmula física do pêndulo pequeno é obtida por análise dinâmica (pequeno ângulo) e dá
, resultando em
Passo 6
Interpretação física curta (útil na prova): a fórmula correta indica que, mantendo tudo igual, aumentar o comprimento
aumenta
(mais comprimento = oscilações mais lentas) e aumentar
diminui
(gravidade maior = oscilações mais rápidas). A fórmula proposta
sugeriria o oposto (aumentar
aumentaria
), o que é fisicamente absurdo — outro sinal de erro além da análise dimensional.
Resposta
Errada. A fórmula dada é dimensionalmente inconsistente; a forma dimensionalmente correta é
.