Na Lei da Gravitação Universal, F=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}. Determine a dimensão da Constante de Gravitação Universal, G.

Passo 1

O enunciado dá a Lei da Gravitação Universal
F = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}
e pede: determinar a dimensão da constante G.
Informações relevantes fornecidas:
  • F é a força entre as massas (quantidade dada pela fórmula).
  • m_{1} e m_{2} são massas (cada uma com dimensão de massa).
  • r é uma distância (com dimensão de comprimento).
  • É preciso expressar a dimensão de G em termos das dimensões fundamentais: massa, comprimento e tempo.

Passo 2

O que significa “dimensão” aqui e notação usada.
  • A dimensão de uma grandeza será indicada por colchetes, por exemplo [X] significa "dimensão de X".
  • As dimensões fundamentais que vamos usar são: massa [M], comprimento [L] e tempo [T].
  • Objetivo prático: isolar G na fórmula e trocar cada grandeza pela sua dimensão para obter [G].

Passo 3

Isolar G na expressão dada pela lei:
G = F\; \frac{r^{2}}{m_{1} m_{2}}.
Isso é só álgebra simples: multiplica ambos os lados por r^{2} e divide por m_{1}m_{2}.

Passo 4

Trocar cada grandeza pela sua dimensão. Usando colchetes:
[G] = [F]\; \frac{[r]^{2}}{[m_{1}][m_{2}]}.
Agora preencher as dimensões conhecidas:
  • [r]=[L] porque r é comprimento.
  • [m_{1}]=[m_{2}]=[M] porque são massas.
Substituindo:
[G] = [F]\; \frac{[L]^{2}}{[M][M]} = [F]\,[L]^{2}\,[M]^{-2}.

Passo 5

Determinar a dimensão de [F]. Pela segunda lei de Newton, força é massa vezes aceleração, isto é
[F] = [M]\,[a],
e aceleração tem dimensão de comprimento por tempo ao quadrado:
[a]=[L]\,[T]^{-2}.
Logo
[F]=[M]\,[L]\,[T]^{-2}.

Passo 6

Substituir [F] na expressão de [G] e simplificar os expoentes:
[G] = \big([M]\,[L]\,[T]^{-2}\big)\,[L]^{2}\,[M]^{-2}.
Agora somar/subtrair expoentes por cada base:
  • Para [M]: 1 + (-2) = -1, portanto fator [M]^{-1}.
  • Para [L]: 1 + 2 = 3, portanto fator [L]^{3}.
  • Para [T]: -2 permanece, portanto fator [T]^{-2}.
Logo
[G] = [M]^{-1}\,[L]^{3}\,[T]^{-2}.

Passo 7

Interpretando em unidades do SI: a dimensão [M]^{-1}[L]^{3}[T]^{-2} corresponde à unidade
\mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
Pequena dica para a prova: sempre isole a constante que quer e troque cada símbolo pela sua dimensão fundamental; depois some/subtraia expoentes — é mecânico e rápido.

Resposta

[G]=[M]^{-1}[L]^{3}[T]^{-2} \
\mathrm{SI:\\ m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}

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