Suponha que o tempo de vida (T), em anos, de um material tem função densidade de probabilidade dada por:
f_{T}(t)=\left\{\begin{array}{l} 0 \text { se } t<1 \\\\ 3 / t^{4} \text { se } t \geq 1 \end{array}\right.
(a) Calcule \mathbb{E}(T) e \operatorname{Var}(T) . \quad(1,0)
(b) Calcule a probabilidade de que T seja maior que o seu valor esperado?
(c) Um setor de controle de qualidade analisa uma amostra aleatória de 5 unidades desse material. Seja X o número de unidades cujo tempo de vida ultrapassa o seu valor esperado. Calcule a probabilidade de X ser maior ou igual a 4 . \quad(0,8)
Passo 1
O enunciado nos dá a densidade de probabilidade do tempo de vida T:
f_{T}(t)=\left\{\begin{array}{l} 0 \text{ se } t<1,\\[4pt] \dfrac{3}{t^{4}} \text{ se } t\ge 1. \end{array}\right.
As perguntas são:
(a) Calcular \mathbb{E}(T) e \operatorname{Var}(T).\n
(b) Calcular \mathbb{P}\big(T>\mathbb{E}(T)\big).\n
(c) Numa amostra aleatória de 5 unidades, seja X o número de unidades com tempo de vida maior que \mathbb{E}(T). Calcular \mathbb{P}(X\ge 4).]
Interpretação rápida: a esperança existe porque a cauda t^{-3} é suficientemente pesada para que essa integral converja, e o valor é \tfrac{3}{2} anos.
Passo 3
Para a variância precisamos de \mathbb{E}(T^{2}). Por definição,
Comentário didático: \operatorname{Var}(T) mede a dispersão em torno da média; usamos a identidade \operatorname{Var}(T)=\mathbb{E}(T^{2})-(\mathbb{E}(T))^{2} porque costuma ser a forma mais prática para cálculo.
Passo 4
Agora (b): queremos \mathbb{P}\big(T>\mathbb{E}(T)\big)=\mathbb{P}\big(T>\tfrac{3}{2}\big).
Para a\ge 1 temos, pela mesma integral da densidade,
Breve explicação: calcular uma probabilidade de cauda como essa é só integrar a densidade a partir do ponto desejado; ficou uma forma simples a^{-3} porque a densidade é proporcional a t^{-4}.
Passo 5
Agora (c). Em uma amostra aleatória de n=5 unidades, cada unidade tem probabilidade
Explicação prática: a probabilidade de 4 ou 5 sucessos é pequena porque p\approx 0,296 é menor que 0,5, então ter 4 ou mais em 5 é raro.
Passo 6
Resumo final e um incentivo: fizemos as integrais passo a passo (verificando primitivas), interpretamos a probabilidade de cauda por uma fórmula simples a^{-3} e usamos a fórmula da binomial para a amostra. Vai dar certo na prova — pratique mais um exemplo parecido para fixar!