Suponha que o tempo de vida (T), em anos, de um material tem função densidade de probabilidade dada por:
f_{T}(t)=\left\{\begin{array}{l} 0 \text { se } t<1 \\\\ 3 / t^{4} \text { se } t \geq 1 \end{array}\right.
(a) Calcule \mathbb{E}(T) e \operatorname{Var}(T) . \quad(1,0)
(b) Calcule a probabilidade de que T seja maior que o seu valor esperado?
(c) Um setor de controle de qualidade analisa uma amostra aleatória de 5 unidades desse material. Seja X o número de unidades cujo tempo de vida ultrapassa o seu valor esperado. Calcule a probabilidade de X ser maior ou igual a 4 . \quad(0,8)

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de probabilidade do tempo de vida T:
f_{T}(t)=\left\{\begin{array}{l} 0 \text{ se } t<1,\\[4pt] \dfrac{3}{t^{4}} \text{ se } t\ge 1. \end{array}\right.
As perguntas são:
(a) Calcular \mathbb{E}(T) e \operatorname{Var}(T).\n
(b) Calcular \mathbb{P}\big(T>\mathbb{E}(T)\big).\n
(c) Numa amostra aleatória de 5 unidades, seja X o número de unidades com tempo de vida maior que \mathbb{E}(T). Calcular \mathbb{P}(X\ge 4).]

Passo 2

Vamos calcular \mathbb{E}(T). Por definição,
\mathbb{E}(T)=\int_{-\infty}^{\infty} t\,f_T(t)\,dt.
Como f_T(t)=0 para t<1, a integral reduz-se a integrar de 1 a \infty. Portanto
\mathbb{E}(T)=\int_{1}^{\infty} t\cdot \frac{3}{t^{4}}\,dt =3\int_{1}^{\infty} t^{-3}\,dt.
Agora integramos t^{-3}. A primitiva de t^{-3} é -\tfrac{1}{2}t^{-2}, porque ao derivar -\tfrac{1}{2}t^{-2} obtém-se t^{-3}. Assim
\mathbb{E}(T)=3\Big[-\tfrac{1}{2}t^{-2}\Big]_{1}^{\infty} =3\big(0 - (-\tfrac{1}{2})\big)=3\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Interpretação rápida: a esperança existe porque a cauda t^{-3} é suficientemente pesada para que essa integral converja, e o valor é \tfrac{3}{2} anos.

Passo 3

Para a variância precisamos de \mathbb{E}(T^{2}). Por definição,
\mathbb{E}(T^{2})=\int_{1}^{\infty} t^{2}\cdot \frac{3}{t^{4}}\,dt =3\int_{1}^{\infty} t^{-2}\,dt.
A primitiva de t^{-2} é -t^{-1}. Portanto
\mathbb{E}(T^{2})=3\Big[-t^{-1}\Big]_{1}^{\infty} =3\big(0 - (-1)\big)=3.
A variância é
\operatorname{Var}(T)=\mathbb{E}(T^{2})-\big(\mathbb{E}(T)\big)^{2} =3-\Big(\tfrac{3}{2}\Big)^{2}=3-\tfrac{9}{4}=\tfrac{3}{4}.
Comentário didático: \operatorname{Var}(T) mede a dispersão em torno da média; usamos a identidade \operatorname{Var}(T)=\mathbb{E}(T^{2})-(\mathbb{E}(T))^{2} porque costuma ser a forma mais prática para cálculo.

Passo 4

Agora (b): queremos \mathbb{P}\big(T>\mathbb{E}(T)\big)=\mathbb{P}\big(T>\tfrac{3}{2}\big).
Para a\ge 1 temos, pela mesma integral da densidade,
\mathbb{P}(T>a)=\int_{a}^{\infty}\frac{3}{t^{4}}\,dt =3\Big[-\tfrac{1}{3}t^{-3}\Big]_{a}^{\infty} =\;a^{-3}.
Aplicando com a=\tfrac{3}{2}:
\mathbb{P}\big(T>\tfrac{3}{2}\big)=\Big(\tfrac{3}{2}\Big)^{-3}=\Big(\tfrac{2}{3}\Big)^{3}=\tfrac{8}{27}\approx 0,296296.
Breve explicação: calcular uma probabilidade de cauda como essa é só integrar a densidade a partir do ponto desejado; ficou uma forma simples a^{-3} porque a densidade é proporcional a t^{-4}.

Passo 5

Agora (c). Em uma amostra aleatória de n=5 unidades, cada unidade tem probabilidade
p=\mathbb{P}\big(T>\mathbb{E}(T)\big)=\tfrac{8}{27}
de ultrapassar a média. Assumindo independência entre unidades, X tem distribuição binomial \mathrm{Bin}(n=5,p=\tfrac{8}{27}). Para k sucessos,
\mathbb{P}(X=k)=\binom{5}{k}p^{k}(1-p)^{5-k}.
Queremos \mathbb{P}(X\ge 4)=\mathbb{P}(X=4)+\mathbb{P}(X=5). Calculamos os termos:
Para k=4:
\mathbb{P}(X=4)=\binom{5}{4}p^{4}(1-p) =5\left(\tfrac{8}{27}\right)^{4}\left(1-\tfrac{8}{27}\right) =5\cdot 8^{4}\cdot 19 \;/\;27^{5}.
Para k=5:
\mathbb{P}(X=5)=\left(\tfrac{8}{27}\right)^{5}=\dfrac{8^{5}}{27^{5}}.
Somando e colocando sobre o mesmo denominador 27^{5}=14\,348\,907,
\mathbb{P}(X\ge 4)=\dfrac{5\cdot 8^{4}\cdot 19 + 8^{5}}{27^{5}} =\dfrac{389\,120 + 32\,768}{14\,348\,907} =\dfrac{421\,888}{14\,348\,907}\approx 0,0294021.
Explicação prática: a probabilidade de 4 ou 5 sucessos é pequena porque p\approx 0,296 é menor que 0,5, então ter 4 ou mais em 5 é raro.

Passo 6

Resumo final e um incentivo: fizemos as integrais passo a passo (verificando primitivas), interpretamos a probabilidade de cauda por uma fórmula simples a^{-3} e usamos a fórmula da binomial para a amostra. Vai dar certo na prova — pratique mais um exemplo parecido para fixar!

Resposta

(a) \mathbb{E}(T)=\tfrac{3}{2},\quad \operatorname{Var}(T)=\tfrac{3}{4}
(b) \mathbb{P}\big(T>\mathbb{E}(T)\big)=\tfrac{8}{27}\approx 0,296296
(c) \mathbb{P}(X\ge 4)=\dfrac{421\,888}{14\,348\,907}\approx 0,0294021

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