Um aluno listando os subconjuntos de um conjunto com n elementos distintos, conseguiu até um certo momento, listar corretamente e sem repetição 198 subconjuntos.
Qual o menor valor possível para n ?
(A) 7.
(B) 8.
© 9 .
(D) 10 .
(E) 11.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre subconjuntos de um conjunto com $ n $ elementos distintos. A gente sabe que o aluno conseguiu listar 198 subconjuntos sem repetir nenhum. Nosso objetivo é descobrir qual o menor valor possível de $ n $ que permite ter pelo menos 198 subconjuntos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de potência de conjuntos, que nos ajuda a calcular quantos subconjuntos existem para um dado número de elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o número total de subconjuntos de um conjunto com $ n $ elementos é dado por $ 2^n $. Isso porque cada elemento pode estar ou não presente em um subconjunto, o que dá duas opções para cada elemento.

Passo 3

Queremos que $ 2^n $ seja pelo menos 198, já que o aluno listou 198 subconjuntos. Então, precisamos encontrar o menor $ n $ que satisfaz a inequação:
2^n

Passo 4

Vamos calcular $ 2^n $ para diferentes valores de $ n $ até encontrar o menor que seja maior ou igual a 198:
  • Para $ n = 7 $:
    2^n
    128 é menor que 198, então precisa ser maior.
  • Para $ n = 8 $:
    n
    256 é maior que 198. Então, 8 é uma possibilidade.

Passo 5

Agora, vamos verificar se 8 é realmente o menor valor possível. Já vimos que para $ n = 7 $, só temos 128 subconjuntos, o que não chega aos 198. Então, não tem valor de $ n $ menor que 8 que atenda à condição.

Resposta

O menor valor possível para $ n $ é 8.

Exercícios relacionados