Sejam x e y números reais. Dentre as alternativas abaixo, qual delas é equivalente à sentença x+y2>y ?
(A) x
(B) -x+y>0
© -x>y
(D) x+y2
(E) x+y2>x

Passo 1

Vamos resolver a seguinte questão: Temos dois números reais, $ x $ e $ y $. A questão nos pede para descobrir qual das alternativas apresentadas é equivalente à sentença x . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de inequações e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a sentença dada: x + y2 > y. Isso significa que a média de $ x $ e $ y $ é maior que $ y $.

Passo 3

Vamos eliminar a fração multiplicando os dois lados da desigualdade por 2:
x + y2 > y Rightarrow x + y > 2y

Passo 4

Agora, vamos isolar $ x $ subtraindo $ y $ de ambos os lados da inequação:
x
Isso nos mostra que $ x $ é maior que $ y $.

Passo 5

Vamos analisar as alternativas para ver qual delas também representa $ x > y $:
  • Alternativa (A): $ x < y $ — Isso é o oposto do que encontramos.
  • Alternativa (B): $ -x + y > 0 $ x > y $ y > x $ — Também é o oposto.
  • Alternativa ©: $ -x > y $ x < y $ x < -y $ — Não é equivalente.
  • Alternativa (D): -x + y > 0 — Vamos verificar essa:
    Multiplicando por 2:
    Rightarrow
    Esta é equivalente à nossa inequação inicial.
  • Alternativa (E): y > x -x > y $ y > x $ — Novamente, o oposto.

Resposta

A alternativa equivalente é a (D) x + y2 < x.

Exercícios relacionados