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Calcule a integral da função f(x, y, z)=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}} sobre a superfície dada por \sigma(u, v)=(u \cos v, u \operatorname{sen} v, v), para 0 \leq u \leq 2 e 0 \leq v \leq \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície de
f(x,y,z)=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}
sobre a superfície parametrizada por
\sigma(u,v)=(u\cos v,\;u\sin v,\;v),
com 0\le u\le2 e 0\le v\le\pi/2.
O conteúdo necessário é a fórmula
\iint_{S}f\,dS = \iint_{D}f\bigl(\sigma(u,v)\bigr)\,\bigl\lvert\sigma_{u}\times\sigma_{v}\bigr\rvert\,du\,dv.

Passo 2

Substituímos \sigma em f. Como
x^{2}+y^{2}=(u\cos v)^{2}+(u\sin v)^{2}=u^{2},
temos
f\bigl(\sigma(u,v)\bigr) =\sqrt{1+u^{2}}.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes:
\sigma_{u}=(\cos v,\;\sin v,\;0), \qquad \sigma_{v}=(-u\sin v,\;u\cos v,\;1).
O produto vetorial é
\sigma_{u}\times\sigma_{v} =(\sin v,\;-\,\cos v,\;u),
cuja norma é
\bigl\lvert\sigma_{u}\times\sigma_{v}\bigr\rvert =\sqrt{\sin^{2}v+\cos^{2}v+u^{2}} =\sqrt{1+u^{2}}.

Passo 4

Assim o integrando fica
f\bigl(\sigma(u,v)\bigr)\,\bigl\lvert\sigma_{u}\times\sigma_{v}\bigr\rvert =\sqrt{1+u^{2}}\;\sqrt{1+u^{2}} =1+u^{2}.
Logo a integral sobre D é
\int_{v=0}^{\pi/2}\!\int_{u=0}^{2}(1+u^{2})\,du\,dv.
Integramos em u:
\int_{0}^{2}(1+u^{2})\,du =\bigl[u+\tfrac{u^{3}}{3}\bigr]_{0}^{2} =2+\tfrac{8}{3} =\tfrac{14}{3}.
Depois em v:
\int_{0}^{\pi/2}\!\tfrac{14}{3}\,dv =\tfrac{14}{3}\,\cdot\tfrac{\pi}{2} =\tfrac{7\pi}{3}.

Resposta

\frac{7\pi}{3}

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