Seja S a porção da superfície esférica x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que se encontra entre os planos z=-1 e z=1.
Qual é o valor da área de S ?

Passo 1

O enunciado pede a área da porção S da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
com raio R=2, limitada pelos planos z=-1 e z=1.
O conteúdo é geometria de superfícies e vamos usar coordenadas esféricas (ou a fórmula de zona esférica).

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos z=R\cos\varphi. Nas interseções com os planos
z=1\implies \cos\phi_{1}=\frac{1}{2},\quad \phi_{1}=\frac{\pi}{3},
z=-1\implies \cos\phi_{2}=-\frac{1}{2},\quad \phi_{2}=\frac{2\pi}{3}.

Passo 3

A área de uma superfície esférica entre \phi_{1} e \phi_{2} é
\text{Área}(S) =\int_{\phi_{1}}^{\phi_{2}}\int_{0}^{2\pi}R^{2}\sin\varphi\,d\theta\,d\varphi =2\pi R^{2}\int_{\phi_{1}}^{\phi_{2}}\sin\varphi\,d\varphi =2\pi R^{2}\bigl(\cos\phi_{1}-\cos\phi_{2}\bigr).Á

Passo 4

Substituindo R=2, \cos\phi_{1}=1/2 e \cos\phi_{2}=-1/2,
\text{Área}(S) =2\pi\cdot 4\bigl(\tfrac12 -(-\tfrac12)\bigr) =8\pi.Á

Resposta

8\pi

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