Se S é a porção da superfície y=z^{2}+x \sqrt{3}, situada entre os planos x=0, x=1, z=0 e z=1, calcule, sobre S, a integral da função f(x, y, z)=z.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície S definida pelo gráfico da função
y = g(x,z) = z^2 + x\sqrt{3}
sobre o domínio em (x,z) dado por
0 \le x \le 1,\quad 0 \le z \le 1,
e pede a integral de superfície da função f(x,y,z)=z sobre S. Vamos usar a fórmula
\iint_{S}f\,dS \;=\;\iint_{D}f\bigl(x,g(x,z),z\bigr)\,\sqrt{1 + g_x^2 + g_z^2}\;dA,
onde D é o retângulo [0,1]\times[0,1].

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de g:
g_x = \frac{\partial}{\partial x}(z^2 + x\sqrt{3}) = \sqrt{3}, \qquad g_z = \frac{\partial}{\partial z}(z^2 + x\sqrt{3}) = 2z.
O fator de correção da área é
\sqrt{1 + g_x^2 + g_z^2} = \sqrt{1 + (\sqrt{3})^2 + (2z)^2} = \sqrt{1 + 3 + 4z^2} = \sqrt{4(1+z^2)} = 2\sqrt{1+z^2}.

Passo 3

Substituindo em \iint_{S}z\,dS, obtemos
\iint_{S}z\,dS = \int_{x=0}^{1}\!\int_{z=0}^{1} z\;\bigl[2\sqrt{1+z^2}\bigr]\,dz\,dx = \Bigl(\int_{x=0}^{1}dx\Bigr)\; \Bigl(2\int_{z=0}^{1}z\sqrt{1+z^2}\,dz\Bigr).
Como \int_{0}^{1}dx=1, sobra calcular
2\int_{0}^{1}z\sqrt{1+z^2}\,dz.

Passo 4

Fazemos a substituição u = 1+z^2, logo du = 2z\,dz. Quando z=0, u=1; quando z=1, u=2. Assim,
2\int_{0}^{1}z\sqrt{1+z^2}\,dz = \int_{u=1}^{2} \sqrt{u}\,du = \int_{1}^{2}u^{\tfrac12}\,du = \left[\tfrac{2}{3}u^{\tfrac{3}{2}}\right]_{1}^{2} = \frac{2}{3}\bigl(2^{\tfrac{3}{2}} - 1\bigr).

Resposta

\frac{2}{3}\bigl(2^{\tfrac{3}{2}} - 1\bigr).

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