Um aluno questionou se o conjunto de matrizes de ordem 2 pode ser considerado um espaço vetorial, já que a multiplicação de matrizes
geralmente é diferente de
. Como você responderia essa dúvida do aluno?
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto de todas as matrizes de ordem 2 pode ser visto como um espaço vetorial, apesar de a multiplicação de matrizes
não ser comutativa. Aqui o conteúdo é definição de espaço vetorial: o que importa são apenas a adição de vetores (matrizes) e a multiplicação por escalar, não o produto de vetores entre si.
Passo 2
Definição: um conjunto
é espaço vetorial sobre um corpo
se estiver munido de duas operações
- adição interna
, - multiplicação externa (por escalar)
,
e satisfizer oito axiomas (fechamento, associatividade, comutatividade da adição, elemento neutro, inverso, fechamento na multiplicação por escalar, distributividade em relação à adição interna e externa, e unidade).
Passo 3
Verificação da parte de adição em
:
- Fechamento: se
então . - Associatividade e comutatividade: seguem dos coeficientes em
. - Identidade: existe a matriz nula
, que comuta e soma com qualquer . - Inverso: para cada
, também está em e satisfaz .
Passo 4
Verificação da multiplicação por escalar em
:
- Fechamento: para todo
e , . - Distributividade interna:
. - Distributividade externa:
. - Compatibilidade de escalares:
. - Unidade:
.
Passo 5
Em nenhuma dessas condições entrou a multiplicação de duas matrizes entre si. Por isso a não comutatividade de
não impede que
seja espaço vetorial.
Resposta
Sim, o conjunto de todas as matrizes de ordem 2 é um espaço vetorial (de dimensão 4) quando equipado com adição usual de matrizes e multiplicação por escalar. A multiplicação entre duas matrizes não faz parte da definição de espaço vetorial.