Um aluno questionou se o conjunto de matrizes de ordem 2 pode ser considerado um espaço vetorial, já que a multiplicação de matrizes A times B geralmente é diferente de B times A. Como você responderia essa dúvida do aluno?

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto de todas as matrizes de ordem 2 pode ser visto como um espaço vetorial, apesar de a multiplicação de matrizes Atimes B não ser comutativa. Aqui o conteúdo é definição de espaço vetorial: o que importa são apenas a adição de vetores (matrizes) e a multiplicação por escalar, não o produto de vetores entre si.

Passo 2

Definição: um conjunto V é espaço vetorial sobre um corpo K se estiver munido de duas operações
  1. adição interna +colon Vtimes Vto V,
  2. multiplicação externa (por escalar) cdotcolon Ktimes Vto V,
    e satisfizer oito axiomas (fechamento, associatividade, comutatividade da adição, elemento neutro, inverso, fechamento na multiplicação por escalar, distributividade em relação à adição interna e externa, e unidade).

Passo 3

Verificação da parte de adição em M2(K):
  • Fechamento: se A,Bin M2(K) então A+Bin M2(K).
  • Associatividade e comutatividade: seguem dos coeficientes em K.
  • Identidade: existe a matriz nula 0=0&00&0, que comuta e soma com qualquer Ain M2(K).
  • Inverso: para cada A, -A também está em M2(K) e satisfaz A+(-A)=0.

Passo 4

Verificação da multiplicação por escalar em M2(K):
  • Fechamento: para todo cin K e Ain M2(K), cAin M2(K).
  • Distributividade interna: c(A+B)=cA + cB.
  • Distributividade externa: (c+d)A = cA + dA.
  • Compatibilidade de escalares: c(dA)=(cd)A.
  • Unidade: 1cdot A = A.

Passo 5

Em nenhuma dessas condições entrou a multiplicação de duas matrizes entre si. Por isso a não comutatividade de Atimes B não impede que M2(K) seja espaço vetorial.

Resposta

Sim, o conjunto de todas as matrizes de ordem 2 é um espaço vetorial (de dimensão 4) quando equipado com adição usual de matrizes e multiplicação por escalar. A multiplicação entre duas matrizes não faz parte da definição de espaço vetorial.

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