TVC 2 de Algebra Linear 2017/3
Professor Andrey Pupasov-Maksimov
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Nome (em letra de forma, legivel) Matricula
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Seja um operador linear no espaço vetorial de matrizes quadradas de orderm 2 , definido como , onde
Achar a matriz desse operador na base canonica de Mat(2).
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão trata de operadores lineares no espaço das matrizes quadradas de ordem 2. Nosso objetivo é encontrar a matriz do operador RA na base canônica de Mat(2) . Para isso, precisaremos entender como os operadores lineares funcionam e como representá-los em uma base específica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Um operador linear é uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro (ou o mesmo) espaço vetorial, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, o operador RA atua no espaço das matrizes 2 times 2 e é definido por:
RA(B) = BA
onde B é uma matriz qualquer em Mat(2) e A é a matriz dada:
A = 1 & -1 0 & 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a matriz representação RA desse operador na base canônica de Mat(2) . A base canônica para Mat(2) é composta pelas seguintes quatro matrizes:
E11 = 1 & 0 0 & 0 , E12 = 0 & 1 0 & 0 , E21 = 0 & 0 1 & 0 , E22 = 0 & 0 0 & 1
Cada uma dessas matrizes tem um “1” em uma posição específica e “0” nas demais.

Passo 4

Para construir RA , vamos ver como RA atua em cada uma das matrizes da base canônica. Ou seja, vamos calcular RA(Eij) = Eij cdot A para cada Eij .

Passo 5

Vamos começar com E11 :
RA(E11) = E11 cdot A = 1 & 0 0 & 0 1 & -1 0 & 1 = 1 cdot 1 + 0 cdot 0 & 1 cdot (-1) + 0 cdot 1 0 cdot 1 + 0 cdot 0 & 0 cdot (-1) + 0 cdot 1 = 1 & -1 0 & 0
Essa matriz resultante pode ser escrita como 1E11 - 1E12 + 0E21 + 0E22 .

Passo 6

Agora, para E12 :
RA(E12) = E12 cdot A = 0 & 1 0 & 0 1 & -1 0 & 1 = 0 cdot 1 + 1 cdot 0 & 0 cdot (-1) + 1 cdot 1 0 cdot 1 + 0 cdot 0 & 0 cdot (-1) + 0 cdot 1 = 0 & 1 0 & 0
Isso corresponde a 0E11 + 1E12 + 0E21 + 0E22 .

Passo 7

Para E21 :
RA(E21) = E21 cdot A = 0 & 0 1 & 0 1 & -1 0 & 1 = 0 cdot 1 + 0 cdot 0 & 0 cdot (-1) + 0 cdot 1 1 cdot 1 + 0 cdot 0 & 1 cdot (-1) + 0 cdot 1 = 0 & 0 1 & -1
Isso pode ser escrito como 0E11 + 0E12 + 1E21 - 1E22 .

Passo 8

Por fim, para E22 :
RA(E22) = E22 cdot A = 0 & 0 0 & 1 1 & -1 0 & 1 = 0 cdot 1 + 0 cdot 0 & 0 cdot (-1) + 0 cdot 1 0 cdot 1 + 1 cdot 0 & 0 cdot (-1) + 1 cdot 1 = 0 & 0 0 & 1
Isso corresponde a 0E11 + 0E12 + 0E21 + 1E22 .

Passo 9

Agora que temos a imagem de cada matriz da base canônica sob RA , podemos construir a matriz representação RA . Cada coluna de RA corresponde aos coeficientes obtidos nas expressões acima para RA(E11) , RA(E12) , RA(E21) e RA(E22) , respectivamente.
Organizando os coeficientes em colunas, temos:
RA = 1 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1

Resposta

RA= 1 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1

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