Apresente um exemplo de um conjunto que seja um espaço vetorial e é estudado na Educação Básica

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de um conjunto que seja um espaço vetorial e que você já tenha visto na Educação Básica. O conteúdo aqui é a definição de espaço vetorial sobre R: precisamos apresentar um conjunto, definir a adição e a multiplicação escalar, e mostrar que todas as propriedades (fecho, elemento neutro, inverso aditivo, associatividade, comutatividade e distributividade) são satisfeitas.

Passo 2

Um dos exemplos mais clássicos e estudados no colégio é o plano cartesiano, isto é, o conjunto R^2 formado por pares ordenados de números reais. Cada elemento de R^2 é um “vetorzinho” (x,y).

Passo 3

Definimos as operações usuais:
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1 + x2,; y1 + y2)
lambda,(x,y) = (lambda x,;lambda y),
onde lambdainR.

Passo 4

Fecho e neutro:
  • Se (x1,y1) e (x2,y2) estão em R^2, então (x1+x2,y1+y2) também está em R^2 (fecho da adição).
  • O vetor zero é (0,0), pois (x,y)+(0,0)=(x,y).
    Inverso aditivo:
  • Para cada (x,y) o inverso é (-x,-y), pois (x,y)+(-x,-y)=(0,0).

Passo 5

Associatividade e comutatividade da adição:
l((x1,y1)+(x2,y2)r)+(x3,y3)=(x1,y1)+l((x2,y2)+(x3,y3)r),
(x1,y1)+(x2,y2)=(x2,y2)+(x1,y1)
Distributividade:
lambdal((x1,y1)+(x2,y2)r) =lambda(x1,y1)+lambda(x2,y2),
(lambda+mu)(x,y)=lambda(x,y)+mu(x,y)
Também valem (lambdamu)(x,y)=lambdal(mu(x,y)r) e 1cdot(x,y)=(x,y).

Passo 6

Como todas as dez propriedades dos axiomas de espaço vetorial estão satisfeitas, concluímos que R^2 com as operações definidas é de fato um espaço vetorial, e é justamente o exemplo de vetores no plano que vemos no Ensino Médio.

Resposta

O conjunto R^2 com a adição (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) e a multiplicação escalar lambda(x,y)=(lambda x,lambda y).

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