Apresente um exemplo de um conjunto que seja um espaço vetorial e é estudado na Educação Básica
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de um conjunto que seja um espaço vetorial e que você já tenha visto na Educação Básica. O conteúdo aqui é a definição de espaço vetorial sobre
: precisamos apresentar um conjunto, definir a adição e a multiplicação escalar, e mostrar que todas as propriedades (fecho, elemento neutro, inverso aditivo, associatividade, comutatividade e distributividade) são satisfeitas.
Passo 2
Um dos exemplos mais clássicos e estudados no colégio é o plano cartesiano, isto é, o conjunto
formado por pares ordenados de números reais. Cada elemento de
é um “vetorzinho”
.
Passo 3
Definimos as operações usuais:
onde
.
Passo 4
Fecho e neutro:
- Se
e estão em , então também está em (fecho da adição). - O vetor zero é
, pois .
Inverso aditivo: - Para cada
o inverso é , pois .
Passo 5
Associatividade e comutatividade da adição:
Distributividade:
Também valem
e
.
Passo 6
Como todas as dez propriedades dos axiomas de espaço vetorial estão satisfeitas, concluímos que
com as operações definidas é de fato um espaço vetorial, e é justamente o exemplo de vetores no plano que vemos no Ensino Médio.
Resposta
O conjunto
com a adição
e a multiplicação escalar
.