Considere os conjuntos
e
W2=[ll a & b c & d ] rvert, a=c e b=d
Determine
W1+W2 . É soma direta?
Passo 1
O enunciado define em
os subespaços
Precisamos achar o subespaço soma
e ver se essa soma é direta.
Passo 2
Vamos encontrar uma base e a dimensão de
. Uma matriz em
tem a forma
Logo uma base de
é
e .
e
Passo 3
Para
, uma matriz satisfaz
e
, então
Assim uma base de
é
e .
e
Passo 4
Agora achamos
. Se
está em ambos, então e
, logo
. Toda matriz comum tem a forma
.
Isso mostra .
está em ambos, então
Isso mostra
Passo 5
Pela fórmula de Grassmann,
Uma descrição concreta de
é: qualquer soma
satisfaz
satisfaz
Portanto
que é um subespaço de dimensão
.
Passo 6
Como
W1cap W2neq0 , a soma não é direta. De fato
dim(W1oplus W2) seria
4 , mas
dim(W1+W2)=3neq4 .
Resposta
e não é soma direta.