Considere os conjuntos
W1=[ll a & b c & d ] rvert, a=d e b=c
e
W2=[ll a & b c & d ] rvert, a=c e b=d
Determine W1+W2. É soma direta?

Passo 1

O enunciado define em os subespaços
Precisamos achar o subespaço soma e ver se essa soma é direta.

Passo 2

Vamos encontrar uma base e a dimensão de . Uma matriz em tem a forma
Logo uma base de é

e .

Passo 3

Para , uma matriz satisfaz e , então
Assim uma base de é

e .

Passo 4

Agora achamos . Se

está em ambos, então e , logo . Toda matriz comum tem a forma
.
Isso mostra .

Passo 5

Pela fórmula de Grassmann,
Uma descrição concreta de é: qualquer soma

satisfaz
Portanto
que é um subespaço de dimensão .

Passo 6

Como W1cap W2neq0, a soma não é direta. De fato
dim(W1oplus W2) seria 4, mas dim(W1+W2)=3neq4.

Resposta

e não é soma direta.

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