Sendo V um espaço vetorial
e
, prove que:
- P4: O simétrico do vetor -v é o vetor v .
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre que, em um espaço vetorial
, o inverso aditivo (ou simétrico) de
é justamente
. Para isso vamos usar os axiomas de grupo abeliano do conjunto
em relação à soma.
Passo 2
Em qualquer grupo abeliano, e portanto em
com a soma, para todo vetor
existe um único vetor
tal que
Esse
é chamado de simétrico de
. Aqui queremos encontrar o simétrico de
, ou seja, um vetor
que satisfaça
Passo 3
Pelo axioma de inverso aditivo aplicado a
, sabemos que
Como a soma em
é comutativa, temos também
Logo o vetor
satisfaz exatamente a condição de ser o simétrico de
.
Passo 4
O axioma de unicidade do inverso aditivo garante que esse simétrico é único. Como mostramos que
soma com
e dá
, concluímos que ele é o simétrico de
.
Resposta
O simétrico de
é
.