Sendo V um espaço vetorial e u, v e e in V e alpha e beta in R, prove que:
  • P4: O simétrico do vetor -v é o vetor v .

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre que, em um espaço vetorial V, o inverso aditivo (ou simétrico) de -v é justamente v. Para isso vamos usar os axiomas de grupo abeliano do conjunto V em relação à soma.

Passo 2

Em qualquer grupo abeliano, e portanto em V com a soma, para todo vetor win V existe um único vetor -win V tal que
w + (-w) = 0
Esse -w é chamado de simétrico de w. Aqui queremos encontrar o simétrico de -v, ou seja, um vetor xin V que satisfaça
(-v) + x = 0

Passo 3

Pelo axioma de inverso aditivo aplicado a v, sabemos que
v + (-v) = 0
Como a soma em V é comutativa, temos também
(-v) + v = v + (-v) = 0
Logo o vetor v satisfaz exatamente a condição de ser o simétrico de -v.

Passo 4

O axioma de unicidade do inverso aditivo garante que esse simétrico é único. Como mostramos que v soma com -v e dá 0, concluímos que ele é o simétrico de -v.

Resposta

O simétrico de -v é v.

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