Alunos (as): Dada a equação
e sabendo que existe uma raiz para essa equação no intervalo
. Diga o menor número inteiro de iterações que serão necessárias utilizando o método da bissecção para obter raiz aproximada com precisão
.
Passo 1
Beleza, então o problema é o seguinte: a gente tem a equação
e sabe que existe uma raiz nesse intervalo
. A matéria que vamos usar é o método da bissecção, que serve pra achar raízes de funções cortando o intervalo ao meio várias vezes. O que precisamos é descobrir quantas vezes, no mínimo, a gente tem que dividir esse intervalo para garantir que a nossa aproximação tenha erro menor ou igual a
.
Passo 2
Primeiro, lembra como funciona o erro no método da bissecção:
- A cada iteração a gente divide o intervalo
ao meio. - Depois de
iterações, o tamanho do intervalo onde a raiz está é
- Se você escolher o ponto médio como aproximação da raiz, o erro máximo que você comete é a metade desse intervalo, mas é comum usar direto
Passo 3
Queremos que esse erro seja menor ou igual a
. Como nosso intervalo inicial é
, temos
. Então a condição vira:
Isso equivale a
Passo 4
Pra descobrir
, tiramos logaritmo na base 2 de ambos os lados:
Sabendo que
, precisamos de
inteiro e maior ou igual a esse valor. Ou seja,
Resposta
O menor número inteiro de iterações necessárias é 10.