Alunos (as): Dada a equação x^3-9 x+3=0 e sabendo que existe uma raiz para essa equação no intervalo [0,1]. Diga o menor número inteiro de iterações que serão necessárias utilizando o método da bissecção para obter raiz aproximada com precisão 10^-3.

Passo 1

Beleza, então o problema é o seguinte: a gente tem a equação
x^3 - 9x + 3 = 0
e sabe que existe uma raiz nesse intervalo . A matéria que vamos usar é o método da bissecção, que serve pra achar raízes de funções cortando o intervalo ao meio várias vezes. O que precisamos é descobrir quantas vezes, no mínimo, a gente tem que dividir esse intervalo para garantir que a nossa aproximação tenha erro menor ou igual a .

Passo 2

Primeiro, lembra como funciona o erro no método da bissecção:
  • A cada iteração a gente divide o intervalo b - a2^N ao meio.
  • Depois de erro <= b - a2^N iterações, o tamanho do intervalo onde a raiz está é
  • Se você escolher o ponto médio como aproximação da raiz, o erro máximo que você comete é a metade desse intervalo, mas é comum usar direto

Passo 3

Queremos que esse erro seja menor ou igual a 12^N <= 10^-3. Como nosso intervalo inicial é 2^N >= 110^-3 = 10^3 = 1000, temos . Então a condição vira:
Isso equivale a

Passo 4

Pra descobrir N >= log2(1000), tiramos logaritmo na base 2 de ambos os lados:
N = lceil 9,9658 rceil = 10
Sabendo que , precisamos de inteiro e maior ou igual a esse valor. Ou seja,

Resposta

O menor número inteiro de iterações necessárias é 10.

Exercícios relacionados