Alunos (as): Prove que x log (x)=1 tem uma solução no intervalo [2,3]. Utilize o método da bisseção e exiba x2 !

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é o seguinte:
– Conteúdo: método numérico de Bisseção (ou “Método da Bisseção”) e o Teorema de Bolzano (ou “Teorema do Valor Intermediário”).
– O enunciado manda provar que a equação
xlog(x)=1
(tomando como logaritmo decimal, ou seja )
tem pelo menos uma solução em e, usando a bisseção, exibir .
O que vamos precisar:
  1. Definir uma função contínua cujo zero seja a solução.
  2. Mostrar, via sinais em e , que existe raiz no intervalo.
  3. Fazer duas iterações de bisseção para achar .

Passo 2

Teorema de Bolzano (valor intermediário) diz: se f(x)=x,log10(x)-1 é contínua em f(2)=2log10(2)-1=2cdot0.3010-1approx0.6020-1=-0.3980<0, e f(3)=3log10(3)-1=3cdot0.4771-1approx1.4313-1=0.4313>0 , então existe com .
Definimos
Essa é contínua para todo . Vamos ver os sinais:
Como e , pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Agora, método da bisseção. Primeira iteração:
– Extremidades iniciais: x1=a0+b02=2+32=2.5 , f(2.5)=2.5log10(2.5)-1=2.5cdot0.39794-1approx0.99485-1=-0.00515<0 .
– Ponto médio:
– Calcular :
Como e , a raiz está no subintervalo .

Passo 4

Segunda iteração:
– Agora x2=a1+b12=2.5+32=2.75 , .
– Ponto médio:
– (Se quisesse, calcularíamos , mas para exibir basta esse valor.)

Resposta

Pela segunda iteração da bisseção, .

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