Alunos (as): Prove que
tem uma solução no intervalo [2,3]. Utilize o método da bisseção e exiba
!
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é o seguinte:
– Conteúdo: método numérico de Bisseção (ou “Método da Bisseção”) e o Teorema de Bolzano (ou “Teorema do Valor Intermediário”).
– O enunciado manda provar que a equação
– Conteúdo: método numérico de Bisseção (ou “Método da Bisseção”) e o Teorema de Bolzano (ou “Teorema do Valor Intermediário”).
– O enunciado manda provar que a equação
(tomando
como logaritmo decimal, ou seja
)
tem pelo menos uma solução em e, usando a bisseção, exibir
.
O que vamos precisar:
tem pelo menos uma solução em
O que vamos precisar:
- Definir uma função
contínua cujo zero seja a solução. - Mostrar, via sinais em
e , que existe raiz no intervalo. - Fazer duas iterações de bisseção para achar
.
Passo 2
Teorema de Bolzano (valor intermediário) diz: se
é contínua em
e
, então existe
com
.
Definimos
Definimos
Essa
é contínua para todo
. Vamos ver os sinais:
Como
e
, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 3
Agora, método da bisseção. Primeira iteração:
– Extremidades iniciais: ,
.
– Ponto médio:
– Extremidades iniciais:
– Ponto médio:
– Calcular
:
Como
e
, a raiz está no subintervalo
.
Passo 4
Segunda iteração:
– Agora ,
.
– Ponto médio:
– Agora
– Ponto médio:
– (Se quisesse, calcularíamos
, mas para exibir
basta esse valor.)
Resposta
Pela segunda iteração da bisseção,
.