Encontre a decomposição
das seguintes matrizes:
a)
b)
c)
A=(rrc2 & 1 & 0 1 & 6 & 4 0 & 4 & 11)
d)
A=(lla & b b & c)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, a gente quer escrever cada matriz dada como um produto
onde
-
-
O que vamos usar aqui é o método de Doolittle (eliminação de Gauss sem pivotação), ou seja:
- Primeiro definimos
, depois calculamosu11=a11 para cada linha abaixo, e assim por diante coluna a coluna.li1=ai1/u11 - A cada etapa, usamos as fórmulas
uij = aij - sumk=1^i-1 lik,ukj, lij = 1ujjl(aij - sumk=1^j-1 lik,ukjr)
garantindo que .lii=1
Agora, vamos na prática para cada item.
Passo 2
Item (a):
1.
2.
3.
Logo
$$L=
L=1 & 0[3pt]tfrac116 & 1, U=16 & 5[3pt]0 & tfrac2716 ,\qquad
U=
.$$
Passo 3
Item (b):
1. Linha 1 de
2.
3. Para coluna 2 de
$$u_{22}=1 - \tfrac{3}{5}\cdot2 = -\tfrac15,\quad
u_{23}=4 - \tfrac{3}{5}\cdot1 = \tfrac{17}{5}.$$
-
u22=1 - tfrac35cdot2 = -tfrac15, u23=4 - tfrac35cdot1 = tfrac175 - Finalmente,$$u_{33}=3 - \bigl(\tfrac{1}{5}\cdot1\bigr) - (-3)\cdot\tfrac{17}{5}= 3 - \tfrac15 + \tfrac{51}{5} = 13.$$
Assim
Passo 4
Item ©:
1. Linha 1 de
2.
3. Coluna 2 de
$$u_{22}=6 - \tfrac12\cdot1 = \tfrac{11}{2},\quad
u_{23}=4 - \tfrac12\cdot0 = 4.$$
-
u22=6 - tfrac12cdot1 = tfrac112, u23=4 - tfrac12cdot0 = 4 - E$$u_{33} = 11 - \bigl(0\cdot0\bigr) - \tfrac{8}{11}\cdot4= 11 - \tfrac{32}{11} = \tfrac{89}{11}.$$
Logo
Passo 5
Item (d) (símbolos):
1.
2.
3.
Fica
$$L=
L=1&0[3pt]tfracba&1, U=a&b[3pt]0&c-tfracb^2a ,\quad
U=
.$$
Resposta
a)
L=1&01/16&1 ,
U=16&50&27/16 .
b)
L=1&0&03/5&1&01/5&-3&1 ,
U=5&2&10&-1/5&17/50&0&13 .
c)
L=1&0&01/2&1&00&8/11&1 ,
U=2&1&00&11/2&40&0&89/11 .
d)
L=1&0b/a&1 ,
U=a&b0&c - b^2/a!! .