Encontre a decomposição A=L U das seguintes matrizes:
a) A=(cc16 & 5 1 & 2)
b) A=(lll5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3)
c) A=(rrc2 & 1 & 0 1 & 6 & 4 0 & 4 & 11)
d) A=(lla & b b & c)

Passo 1

Beleza, a gente quer escrever cada matriz dada como um produto
A = L,U
onde
- L é triangular inferior com 1 na diagonal principal,
- U é triangular superior.
O que vamos usar aqui é o método de Doolittle (eliminação de Gauss sem pivotação), ou seja:
  1. Primeiro definimos u11=a11, depois calculamos li1=ai1/u11 para cada linha abaixo, e assim por diante coluna a coluna.
  2. A cada etapa, usamos as fórmulas uij = aij - sumk=1^i-1 lik,ukj, lij = 1ujjl(aij - sumk=1^j-1 lik,ukjr)
    garantindo que lii=1.
Agora, vamos na prática para cada item.

Passo 2

Item (a):
A=16 & 5[3pt]1 & 2
1. u11=16,;u12=5.
2. l21=dfrac116.
3. u22=2 - l21cdot u12 = 2 - tfrac116cdot5 = tfrac2716.
Logo
$$L= L=1 & 0[3pt]tfrac116 & 1, U=16 & 5[3pt]0 & tfrac2716,\qquad
U= .$$

Passo 3

Item (b):
A=5&2&1[3pt]3&1&4[3pt]1&1&3
1. Linha 1 de U: u11=5,;u12=2,;u13=1.
2. l21=3/5,;l31=1/5.
3. Para coluna 2 de U:
$$u_{22}=1 - \tfrac{3}{5}\cdot2 = -\tfrac15,\quad
 u_{23}=4 - \tfrac{3}{5}\cdot1 = \tfrac{17}{5}.$$  
  1. u22=1 - tfrac35cdot2 = -tfrac15, u23=4 - tfrac35cdot1 = tfrac175
  2. Finalmente,$$u_{33}=3 - \bigl(\tfrac{1}{5}\cdot1\bigr) - (-3)\cdot\tfrac{17}{5}= 3 - \tfrac15 + \tfrac{51}{5} = 13.$$
Assim
l32=l(1 - tfrac15cdot2r)/u22 = tfrac3/5-1/5 = -3

Passo 4

Item ©:
A=2&1&0[3pt]1&6&4[3pt]0&4&11
1. Linha 1 de U: u11=2,;u12=1,;u13=0.
2. l21=1/2,;l31=0/2=0.
3. Coluna 2 de U:
$$u_{22}=6 - \tfrac12\cdot1 = \tfrac{11}{2},\quad
 u_{23}=4 - \tfrac12\cdot0 = 4.$$  
  1. u22=6 - tfrac12cdot1 = tfrac112, u23=4 - tfrac12cdot0 = 4
  2. E$$u_{33} = 11 - \bigl(0\cdot0\bigr) - \tfrac{8}{11}\cdot4= 11 - \tfrac{32}{11} = \tfrac{89}{11}.$$
Logo
l32 = (4 - 0cdot1)/(11/2) = 4cdot tfrac211 = tfrac811

Passo 5

Item (d) (símbolos):
A=a&b[3pt]b&c
1. u11=a,;u12=b.
2. l21=b/a.
3. u22=c - (b/a),b = c - b^2a
Fica
$$L= L=1&0[3pt]tfracba&1, U=a&b[3pt]0&c-tfracb^2a,\quad
U= .$$

Resposta

a) L=1&01/16&1,
U=16&50&27/16.
b) L=1&0&03/5&1&01/5&-3&1,
U=5&2&10&-1/5&17/50&0&13.
c) L=1&0&01/2&1&00&8/11&1,
U=2&1&00&11/2&40&0&89/11.
d) L=1&0b/a&1,
U=a&b0&c - b^2/a!!.

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