Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre as disciplinas Matemática, Física e Química. Sabendo que:
  • o número de alunos que cursam Matemática e Física excede em 5 o número de alunos que cursam as três disciplinas;
  • existem 7 alunos que cursam Matemática e Química, mas não cursam Física;
  • existem 6 alunos que cursam Física e Química, mas não cursam Matemática;
  • o número de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas é 150;
  • o número de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas é 190.
    Quantos alunos cursam as três disciplinas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nós temos um exercício que envolve contar alunos que estão cursando diferentes combinações das disciplinas Matemática, Física e Química. A gente vai precisar usar um pouco de teoria de conjuntos, especificamente o Princípio da Inclusão-Exclusão, para resolver isso. Esse princípio ajuda a contar elementos que estão em várias categorias ao mesmo tempo, evitando contagens duplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que cada parte do problema está nos dizendo:
  • Número de alunos que cursam Matemática e Física excede em 5 o número de alunos que cursam todas as três disciplinas.
    Se chamarmos o número de alunos que cursam as três disciplinas de x , então o número de alunos que cursam Matemática e Física (incluindo aqueles que também cursam Química) é x + 5 .
  • Existem 7 alunos que cursam Matemática e Química, mas não cursam Física.
    Isso significa que 7 alunos estão apenas nessas duas matérias, sem incluir Física.
  • Existem 6 alunos que cursam Física e Química, mas não cursam Matemática.
    Aqui, 6 alunos estão apenas nessas duas matérias, sem incluir Matemática.
  • O número de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas é 150.
    Isso inclui alunos que estão apenas em Matemática, apenas em Física ou apenas em Química.
  • O número de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas é 190.
    Então, 190 alunos estão matriculados em pelo menos uma das três disciplinas.

Passo 3

Vamos organizar essas informações usando um diagrama de Venn para visualizar melhor:
  • Somente Matemática: m
  • Somente Física: f
  • Somente Química: q
  • Matemática e Física (sem Química): 5 (porque x + 5 - x = 5 )
  • Matemática e Química (sem Física): 7
  • Física e Química (sem Matemática): 6
  • Todas as três disciplinas: x

Passo 4

Sabemos que o total de alunos que cursam exatamente uma disciplina é:
m + f + q = 150 (1)
E o total de alunos que cursam pelo menos uma disciplina é a soma de todos esses grupos:
m + f + q + 5 + 7 + 6 + x = 190 (2)

Passo 5

Vamos simplificar a equação (2):
m + f + q + 5 + 7 + 6 + x = 190
Somando os números:
m + f + q + 18 + x = 190
Subtraindo 18 de ambos os lados:
m + f + q + x = 172 (3)

Passo 6

Agora, sabemos pela equação (1) que:
m + f + q = 150
Vamos substituir isso na equação (3):
150 + x = 172

Passo 7

Resolvendo para x :
x = 172 - 150
x = 22

Resposta

22 alunos cursam as três disciplinas.

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