Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre as disciplinas Matemática, Física e Química. Sabendo que:
- o número de alunos que cursam Matemática e Física excede em 5 o número de alunos que cursam as três disciplinas;
- existem 7 alunos que cursam Matemática e Química, mas não cursam Física;
- existem 6 alunos que cursam Física e Química, mas não cursam Matemática;
- o número de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas é 150;
- o número de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas é 190.
Quantos alunos cursam as três disciplinas?
Quantos alunos cursam as três disciplinas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nós temos um exercício que envolve contar alunos que estão cursando diferentes combinações das disciplinas Matemática, Física e Química. A gente vai precisar usar um pouco de teoria de conjuntos, especificamente o Princípio da Inclusão-Exclusão, para resolver isso. Esse princípio ajuda a contar elementos que estão em várias categorias ao mesmo tempo, evitando contagens duplicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que cada parte do problema está nos dizendo:
-
Número de alunos que cursam Matemática e Física excede em 5 o número de alunos que cursam todas as três disciplinas.
Se chamarmos o número de alunos que cursam as três disciplinas de, então o número de alunos que cursam Matemática e Física (incluindo aqueles que também cursam Química) é . -
Existem 7 alunos que cursam Matemática e Química, mas não cursam Física.
Isso significa que 7 alunos estão apenas nessas duas matérias, sem incluir Física. -
Existem 6 alunos que cursam Física e Química, mas não cursam Matemática.
Aqui, 6 alunos estão apenas nessas duas matérias, sem incluir Matemática. -
O número de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas é 150.
Isso inclui alunos que estão apenas em Matemática, apenas em Física ou apenas em Química. -
O número de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas é 190.
Então, 190 alunos estão matriculados em pelo menos uma das três disciplinas.
Passo 3
Vamos organizar essas informações usando um diagrama de Venn para visualizar melhor:
- Somente Matemática:
- Somente Física:
- Somente Química:
- Matemática e Física (sem Química):
(porque ) - Matemática e Química (sem Física):
- Física e Química (sem Matemática):
- Todas as três disciplinas:
Passo 4
Sabemos que o total de alunos que cursam exatamente uma disciplina é:
E o total de alunos que cursam pelo menos uma disciplina é a soma de todos esses grupos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação (2):
Somando os números:
Subtraindo 18 de ambos os lados:
Passo 6
Agora, sabemos pela equação (1) que:
Vamos substituir isso na equação (3):
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
22 alunos cursam as três disciplinas.