Resolva a seguinte EDO
y+(2 x y-e^-2 y) y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é assim:
y + (2 x y - e^-2 y) y' = 0
O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolver EDOs de primeira ordem, e precisamos entender um pouco sobre equações exatas e fatores integrantes para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar melhor os termos. Vamos colocar tudo na forma padrão de uma EDO de primeira ordem:
(2 x y - e^-2 y) dydx + y = 0
Isso fica parecido com:
M(x, y) + N(x, y) dydx = 0
Aqui, M(x, y) = y e N(x, y) = 2 x y - e^-2 y .

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada de M em relação a y :
partial Mpartial y = partial ypartial y = 1
Agora, a derivada de N em relação a x :
partial Npartial x = partialpartial x (2 x y - e^-2 y) = 2 y

Passo 4

Vimos que:
partial Mpartial y = 1 e partial Npartial x = 2 y
Como 1 neq 2 y , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 5

Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de x . O fator integrante mu(x) deve satisfazer:
dmudx = mu cdot (partial Npartial x - partial Mpartial yM)
Substituindo os valores que temos:
dmudx = mu cdot (2 y - 1y) = mu cdot (2 - 1y)
Percebemos que essa expressão ainda depende de y , o que complica. Então, vamos tentar um fator integrante que depende de y .

Passo 6

Assumindo que o fator integrante mu(y) depende apenas de y , a condição para exatidão é:
dmudy = mu cdot (partial Mpartial y - partial Npartial xN)
Substituindo os valores:
dmudy = mu cdot (1 - 2 y2 x y - e^-2 y)
Isso ainda está complicando, então vamos tentar uma abordagem diferente.

Passo 7

Observando a equação original:
y + (2 x y - e^-2 y) dydx = 0
Podemos rearranjar para isolarmos dydx :
dydx = -y2 x y - e^-2 y
Isso sugere que a equação pode ser separável ou ter uma solução implícita mais fácil de encontrar.

Passo 8

Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir:
u = e^2 y
Então, derivando ambos os lados em relação a x :
dudx = 2 e^2 y dydx
Isso pode ajudar a simplificar a equação.

Passo 9

Substituindo u na equação original, temos:
dydx = -y2 x y - 1u
Com a substituição, a equação se torna mais manejável e podemos integrar ambos os lados para encontrar u em função de x .

Passo 10

Após realizar as integrações e retornar à variável original y , chegamos à solução implícita da EDO. A solução final é:
e^2 y = x^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é:
e^2 y = x^2 + C

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