Resolva a seguinte EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é assim:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolver EDOs de primeira ordem, e precisamos entender um pouco sobre equações exatas e fatores integrantes para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar melhor os termos. Vamos colocar tudo na forma padrão de uma EDO de primeira ordem:
Isso fica parecido com:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vimos que:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 5
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de
. O fator integrante
deve satisfazer:
Substituindo os valores que temos:
Percebemos que essa expressão ainda depende de
, o que complica. Então, vamos tentar um fator integrante que depende de
.
Passo 6
Assumindo que o fator integrante
depende apenas de
, a condição para exatidão é:
Substituindo os valores:
Isso ainda está complicando, então vamos tentar uma abordagem diferente.
Passo 7
Observando a equação original:
Podemos rearranjar para isolarmos
:
Isso sugere que a equação pode ser separável ou ter uma solução implícita mais fácil de encontrar.
Passo 8
Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Isso pode ajudar a simplificar a equação.
Passo 9
Substituindo
na equação original, temos:
Com a substituição, a equação se torna mais manejável e podemos integrar ambos os lados para encontrar
em função de
.
Passo 10
Após realizar as integrações e retornar à variável original
, chegamos à solução implícita da EDO. A solução final é:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO é: