Se a > 0 e f: [-a, a] -> R é uma função qualquer, mostre que
(a) A função g: [-a, a] -> R dada por g(x) = f(x) + f(-x) é uma função par.
(b) A função h: [-a, a] -> R dada por h(x) = f(x) - f(-x) é uma função ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre funções pares e ímpares. A ideia é mostrar que, dadas certas funções e definidas a partir de uma função qualquer , a primeira é uma função par e a segunda é ímpar. Para isso, vamos precisar entender o que são funções pares e ímpares e usar essas definições para provar os itens (a) e (b).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser par. Uma função é par se para todo no domínio da função. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso para a função . Queremos mostrar que .
Calculando :
Note que . Portanto, , o que significa que é uma função par.

Passo 4

Agora, vamos para a função . Queremos mostrar que .
Calculando :
Isso pode ser reescrito como:
Então, , o que significa que é uma função ímpar.

Resposta

(a) A função é uma função par.
(b) A função é uma função ímpar.

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