Calcule: -F(u(t+2)-u(t-2)e^t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a transformada de Fourier da função e depois multiplicar o resultado por . Aqui, representa a função degrau de Heaviside. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformadas de Fourier, propriedades de transformadas, e manipulação de funções exponenciais e degraus.

Passo 2

Vamos começar analisando a função dada: . A expressão cria uma janela onde a função é para entre e , e zero fora desse intervalo. Isso porque ativa a função a partir de e desativa a função a partir de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a transformada de Fourier de uma função é dada por:
No nosso caso, , então podemos escrever:
Porque a função é zero fora de a .

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral, temos:
Então, a transformada fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a de a :

Passo 6

Simplificando a expressão, podemos fatorar e :

Passo 7

Vamos multiplicar numerador e denominador por para racionalizar o denominador:

Passo 8

Simplificando ainda mais, temos:
Podemos fatorar :

Passo 9

Reconhecendo que , podemos expressar os termos exponenciais em termos de funções trigonométricas:
Simplificando:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão da transformada:
Distribuindo :
Lembrando que :

Passo 11

Agrupando termos reais e imaginários:

Passo 12

Finalmente, lembrando que precisamos do valor negativo da transformada, temos:

Resposta

A transformada de Fourier solicitada é:

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