Calcule:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a transformada de Fourier da função
e depois multiplicar o resultado por
. Aqui,
representa a função degrau de Heaviside. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformadas de Fourier, propriedades de transformadas, e manipulação de funções exponenciais e degraus.
Passo 2
Vamos começar analisando a função dada:
. A expressão
cria uma janela onde a função é
para
entre
e
, e zero fora desse intervalo. Isso porque
ativa a função a partir de
e
desativa a função a partir de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a transformada de Fourier de uma função
é dada por:
No nosso caso,
, então podemos escrever:
Porque a função é zero fora de
a
.
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral, temos:
Então, a transformada fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
de
a
:
Passo 6
Simplificando a expressão, podemos fatorar
e
:
Passo 7
Vamos multiplicar numerador e denominador por
para racionalizar o denominador:
Passo 8
Simplificando ainda mais, temos:
Podemos fatorar
:
Passo 9
Reconhecendo que
, podemos expressar os termos exponenciais em termos de funções trigonométricas:
Simplificando:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão da transformada:
Distribuindo
:
Lembrando que
:
Passo 11
Agrupando termos reais e imaginários:
Passo 12
Finalmente, lembrando que precisamos do valor negativo da transformada, temos:
Resposta
A transformada de Fourier solicitada é: