Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. x = y^2 e y = -1/2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a área da região que fica entre duas curvas: e . Isso envolve um pouquinho de cálculo, especialmente integrais. Primeiro, precisamos entender onde essas duas curvas se encontram para saber os limites da nossa área.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso significa resolver as equações juntas:
Para resolver, substituímos da segunda equação na primeira:
Rearranjando:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos de interseção são quando e .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, precisamos decidir em qual direção vamos integrar. Olhando as equações, é mais fácil integrar em relação a , porque isso simplifica a gente a encontrar as funções superiores e inferiores. Então, vamos reescrever a segunda equação para em função de :
Então, temos:

Passo 4

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral que subtrai a função inferior da superior. Primeiro, precisamos identificar qual curva está acima da outra no intervalo de . Vamos resolver para nos pontos de interseção:
Quando , .
Quando , substituindo na segunda equação:
Então, os valores de vão de a . Dentro desse intervalo, está à direita (maior) que .

Passo 5

Agora, montamos a integral para a área:
Á
Substituindo as funções:
Á
Simplificando:
Á

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de a :
Como área não pode ser negativa, tiramos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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