Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a área da região que fica entre duas curvas:
e
. Isso envolve um pouquinho de cálculo, especialmente integrais. Primeiro, precisamos entender onde essas duas curvas se encontram para saber os limites da nossa área.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso significa resolver as equações juntas:
Para resolver, substituímos
da segunda equação na primeira:
Rearranjando:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos de interseção são quando
e
.
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, precisamos decidir em qual direção vamos integrar. Olhando as equações, é mais fácil integrar em relação a
, porque isso simplifica a gente a encontrar as funções superiores e inferiores. Então, vamos reescrever a segunda equação para
em função de
:
Então, temos:
Passo 4
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral que subtrai a função inferior da superior. Primeiro, precisamos identificar qual curva está acima da outra no intervalo de
. Vamos resolver para
nos pontos de interseção:
Quando ,
.
Quando , substituindo na segunda equação:
Quando
Quando
Então, os valores de
vão de
a
. Dentro desse intervalo,
está à direita (maior) que
.
Passo 5
Agora, montamos a integral para a área:
Substituindo as funções:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Como área não pode ser negativa, tiramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.