Vamos considerar uma barra de 40 cm de comprimento, isolada nos lados, com coeficiente α = 1 e as extremidades também isoladas,ou seja, u_x(0, t) = 0 e u_x(40, t) = 0 e tal que a temperatura inicial é dada por f(x) = { x, 0 <= x < 20; 40 - x, 20 <= x <= 40 } Encontre a solução do problema de valor inicial e de fronteira.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Temos uma barra de 40 cm de comprimento onde a temperatura só varia ao longo do comprimento, ou seja, isolada nas laterais. A barra tem condições de contorno que dizem que a derivada da temperatura em e é zero, o que significa que não há fluxo de calor nessas extremidades (condições de Neumann). A temperatura inicial é uma função que aumenta de 0 a 20 cm e depois diminui até 40 cm. Para resolver esse problema, vamos usar equações diferenciais parciais, especificamente a equação do calor, e expandir a condição inicial em uma série de Fourier de cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação do calor unidimensional:
Aqui, representa a temperatura na posição e no tempo , e é o coeficiente de difusão térmica, que neste caso é 1.

Passo 3

Como as condições de contorno são de Neumann ( e ), sabemos que as soluções vão ser funções de cosseno. A solução geral pode ser escrita como uma série de cossenos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os coeficientes ajustando a condição inicial . Isso significa expandir em uma série de cossenos:
Para isso, calculamos os coeficientes usando a fórmula da série de Fourier para funções pares:

Passo 5

Finalmente, substituímos os coeficientes encontrados na expressão da solução geral. Isso nos dá a solução completa do problema de valor inicial e de fronteira:

Resposta

A solução do problema é
onde os coeficientes são calculados por

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