Vamos considerar uma barra de 40 cm de comprimento, isolada nos lados, com coeficiente
as extremidades também isoladas,ou seja,
e
e tal que a temperatura inicial é dada por
Encontre a solução do problema de valor inicial e de fronteira.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Temos uma barra de 40 cm de comprimento onde a temperatura só varia ao longo do comprimento, ou seja, isolada nas laterais. A barra tem condições de contorno que dizem que a derivada da temperatura em
e
é zero, o que significa que não há fluxo de calor nessas extremidades (condições de Neumann). A temperatura inicial
é uma função que aumenta de 0 a 20 cm e depois diminui até 40 cm. Para resolver esse problema, vamos usar equações diferenciais parciais, especificamente a equação do calor, e expandir a condição inicial em uma série de Fourier de cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação do calor unidimensional:
Aqui,
representa a temperatura na posição
e no tempo
, e
é o coeficiente de difusão térmica, que neste caso é 1.
Passo 3
Como as condições de contorno são de Neumann (
e
), sabemos que as soluções vão ser funções de cosseno. A solução geral pode ser escrita como uma série de cossenos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os coeficientes
ajustando a condição inicial
. Isso significa expandir
em uma série de cossenos:
Para isso, calculamos os coeficientes usando a fórmula da série de Fourier para funções pares:
Passo 5
Finalmente, substituímos os coeficientes
encontrados na expressão da solução geral. Isso nos dá a solução completa do problema de valor inicial e de fronteira:
Resposta
A solução do problema é
onde os coeficientes
são calculados por