- Calcule a derivada da energia total,
. (Lembre-se de usar a regra da cadeia:
e
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a derivada temporal da energia total,
.
Informações que temos (implícitas e/ou típicas nesse tipo de exercício): a energia total é dada pela soma da energia potencial elástica e da energia cinética, que usualmente escrevemos como
Informações que temos (implícitas e/ou típicas nesse tipo de exercício): a energia total é dada pela soma da energia potencial elástica e da energia cinética, que usualmente escrevemos como
onde
é o deslocamento (função do tempo),
é a velocidade (função do tempo),
e
são constantes.
Também foi lembrado que, pela regra da cadeia,
Também foi lembrado que, pela regra da cadeia,
Passo 2
Relembrando a regra da cadeia de forma prática: se
é uma função do tempo, então a derivada de
é duas vezes
vezes a derivada de
. Em símbolos,
onde
. Isso vale para
e para
. A ideia é: primeiro “trago para fora” o
, depois multiplico por
.
Passo 3
Agora aplico a derivada termo a termo em
Usando a regra da cadeia em cada termo:
Passo 4
Substituo as derivadas usando
e
:
Simplificando os fatores
e
,
Passo 5
Expressando
e
por símbolos físicos mais familiares:
(velocidade) e
(aceleração). Assim
Também podemos fatorar
:
Se, no sistema em questão, a equação do movimento for a da mola sem amortecimento (
, Lei de Hooke), então
e obtemos
, mostrando conservação da energia nessa situação. (Esse último passo exige assumir a equação do movimento.)