1. Calcule a derivada da energia total, \frac{d E}{d t}. (Lembre-se de usar a regra da cadeia: \frac{d}{d t}\left(x^{2}\right)=2 x \frac{d x}{d t} e \left.\frac{d}{d t}\left(v^{2}\right)=2 v \frac{d v}{d t}\right).

Passo 1

O que o problema pede: calcular a derivada temporal da energia total, \frac{dE}{dt}.
Informações que temos (implícitas e/ou típicas nesse tipo de exercício): a energia total é dada pela soma da energia potencial elástica e da energia cinética, que usualmente escrevemos como
E=\frac{1}{2}k x^{2}+\frac{1}{2}m v^{2},
onde x=x(t) é o deslocamento (função do tempo), v=v(t) é a velocidade (função do tempo), k e m são constantes.
Também foi lembrado que, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\big(x^{2}\big)=2x\frac{dx}{dt} \qquad\text{e}\qquad \frac{d}{dt}\big(v^{2}\big)=2v\frac{dv}{dt}.

Passo 2

Relembrando a regra da cadeia de forma prática: se y(t) é uma função do tempo, então a derivada de y(t)^{2} é duas vezes y(t) vezes a derivada de y(t). Em símbolos,
\frac{d}{dt}\big(y^{2}\big)=2y\dot{y},
onde \dot{y}=\frac{dy}{dt}. Isso vale para y=x e para y=v. A ideia é: primeiro “trago para fora” o 2y, depois multiplico por \dot{y}.

Passo 3

Agora aplico a derivada termo a termo em
E=\frac{1}{2}k x^{2}+\frac{1}{2}m v^{2}.
Usando a regra da cadeia em cada termo:
\frac{dE}{dt}=\frac{1}{2}k\cdot\frac{d}{dt}\big(x^{2}\big)+\frac{1}{2}m\cdot\frac{d}{dt}\big(v^{2}\big).

Passo 4

Substituo as derivadas usando \frac{d}{dt}\big(x^{2}\big)=2x\dot{x} e \frac{d}{dt}\big(v^{2}\big)=2v\dot{v}:
\frac{dE}{dt}=\frac{1}{2}k\cdot(2x\dot{x})+\frac{1}{2}m\cdot(2v\dot{v}).
Simplificando os fatores 2 e \tfrac{1}{2},
\frac{dE}{dt}=k x\dot{x}+m v\dot{v}.

Passo 5

Expressando \dot{x} e \dot{v} por símbolos físicos mais familiares: \dot{x}=v (velocidade) e \dot{v}=a (aceleração). Assim
\frac{dE}{dt}=k x v + m v a.
Também podemos fatorar v:
\frac{dE}{dt}=v\big(k x + m a\big).
Se, no sistema em questão, a equação do movimento for a da mola sem amortecimento ( m a = -k x, Lei de Hooke), então k x + m a=0 e obtemos \frac{dE}{dt}=0, mostrando conservação da energia nessa situação. (Esse último passo exige assumir a equação do movimento.)

Resposta

\displaystyle \frac{dE}{dt}=k x\dot{x}+m v\dot{v}
\displaystyle \text{(equivalentemente } \frac{dE}{dt}=k x v + m v a = v(kx+ma)\text{; se }ma=-kx\text{ então }\frac{dE}{dt}=0\text{)}ã

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