Ambientalistas estimam que, em certa cidade, a concentração média diária de monóxido de carbono no ar será C(p)=0,5 p+1 partes por milhão quando a cidade tiver uma população de p mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade dentro de t anos será p(t)=10+0,1 t^2 mil habitantes.
Daqui a quanto tempo a concentração de monóxido de carbono atingirá o valor de 6,8 partes por milhão?

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções: a concentração de monóxido de carbono em partes por milhão em função da população p (em mil habitantes),
C(p)=0,5,p+1,
e a população em função do tempo t (em anos),
p(t)=10+0,1,t^2
Precisamos encontrar o tempo t tal que a concentração atinja 6,8 ppm, isto é, resolver a equação composta Cl(p(t)r)=6,8.

Passo 2

Substituímos p(t) em C(p) para obter a concentração em função de t:
Cl(p(t)r) =0,5l(10+0,1,t^2r)+1 =0,5cdot10+0,5cdot0,1,t^2+1 =5+0,05,t^2+1 =6+0,05,t^2

Passo 3

Igualamos essa expressão a 6,8 e resolvemos para t:
6+0,05,t^2=6,8 Longrightarrow 0,05,t^2=0,8 Longrightarrow t^2=0,80,05=16

Passo 4

Da equação t^2=16 vêm duas soluções, t=4 e t=-4. Como t representa tempo em anos, descartamos t=-4 e ficamos com
t=4

Resposta

Daqui a 4 anos.

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