Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos lidando com integração por expansão em frações parciais, que é uma técnica usada para quebrar frações complicadas em partes mais simples que a gente consegue integrar mais facilmente. Para isso, vamos precisar decompor a fração dada em frações menores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração de forma mais clara:
A ideia é expressar isso como uma soma de frações com denominadores mais simples:
Aqui,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Vamos expandir o lado direito:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos do mesmo grau dos dois lados da equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para o termo constante:
Passo 5
Com os valores de
e
encontrados, vamos substituir na equação
:
E na equação
:
Passo 6
Agora que temos todos os valores, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 7
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Integrando cada termo:
-
-
-
Para
, vamos separar: -
Passo 9
Juntando todas as integrais:
Resposta
A integral resolvida é: