Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
integral 3 x^3+2 x-2x^2(x^2+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral 3 x^3 + 2 x - 2x^2(x^2 + 2) , dx
Aqui, estamos lidando com integração por expansão em frações parciais, que é uma técnica usada para quebrar frações complicadas em partes mais simples que a gente consegue integrar mais facilmente. Para isso, vamos precisar decompor a fração dada em frações menores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração de forma mais clara:
3 x^3 + 2 x - 2x^2(x^2 + 2)
A ideia é expressar isso como uma soma de frações com denominadores mais simples:
3 x^3 + 2 x - 2x^2(x^2 + 2) = Ax + Bx^2 + Cx + Dx^2 + 2
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo denominador comum x^2(x^2 + 2) para eliminar as frações:
3 x^3 + 2 x - 2 = A x (x^2 + 2) + B (x^2 + 2) + (C x + D) x^2
Vamos expandir o lado direito:
3 x^3 + 2 x - 2 = A x^3 + 2 A x + B x^2 + 2 B + C x^3 + D x^2
Juntando os termos semelhantes:
3 x^3 + 2 x - 2 = (A + C) x^3 + (B + D) x^2 + (2 A) x + 2 B

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos do mesmo grau dos dois lados da equação:
  1. Para x^3:
A + C = 3
  1. Para x^2:
B + D = 0
  1. Para x:
2 A = 2 implies A = 1
  1. Para o termo constante:
2 B = -2 implies B = -1

Passo 5

Com os valores de A e B encontrados, vamos substituir na equação A + C = 3:
1 + C = 3 implies C = 2
E na equação B + D = 0:
-1 + D = 0 implies D = 1

Passo 6

Agora que temos todos os valores, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
3 x^3 + 2 x - 2x^2(x^2 + 2) = 1x + -1x^2 + 2x + 1x^2 + 2

Passo 7

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral ( 1x - 1x^2 + 2x + 1x^2 + 2 ) dx = integral 1x , dx - integral 1x^2 , dx + integral 2x + 1x^2 + 2 , dx

Passo 8

Integrando cada termo:
  1. integral 1x , dx = ln|x|
  2. integral 1x^2 , dx = -1x
  3. Para integral 2x + 1x^2 + 2 , dx, vamos separar:
    • integral 2xx^2 + 2 , dx = ln|x^2 + 2|
    • integral 1x^2 + 2 , dx = 1raiz2 tan^-1(xraiz2)

Passo 9

Juntando todas as integrais:
ln|x| + 1x + ln|x^2 + 2| + 1raiz2 tan^-1(xraiz2) + C

Resposta

A integral resolvida é:
ln|x| + 1x + ln|x^2 + 2| + 1raiz2 tan^-1(xraiz2) + C

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