Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que resolver a integral usando o método de expansão em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, a ideia é escrever a fração como uma soma de frações mais simples. Como o denominador é um produto de e , vamos supor que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar , e , vamos eliminar os denominadores multiplicando toda a equação por :
Agora, vamos expandir o lado direito:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
:
:
Termo constante:
Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos na terceira equação:
Da segunda equação, temos:
Substituindo na Eq. 4:
Agora que sabemos que , podemos encontrar e :
Passo 6
Com os valores de , e encontrados, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Agora, nossa integral fica mais fácil de resolver:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro:
Agora, para a segunda integral, observamos que o numerador é derivada do denominador. Vamos usar substituição:
Então:
Passo 8
Finalmente, juntando as duas integrais e as constantes de integração:
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.