Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que resolver a integral usando o método de expansão em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, a ideia é escrever a fração como uma soma de frações mais simples. Como o denominador é um produto de e , vamos supor que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar , e , vamos eliminar os denominadores multiplicando toda a equação por :
Agora, vamos expandir o lado direito:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
:
:
Termo constante:
Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
A = 8 - B
Agora, substituímos A na terceira equação:
4(8 - B) + C = 20 32 - 4B + C = 20 -4B + C = -12 (Eq 4)
Da segunda equação, temos:
C = 3 - B
Substituindo C na Eq. 4:
-4B + (3 - B) = -12 -5B + 3 = -12 -5B = -15 B = 3
Agora que sabemos que B = 3, podemos encontrar A e C:
A = 8 - 3 = 5
C = 3 - 3 = 0
Passo 6
Com os valores de A, B e C encontrados, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
8x^2+3x+20(x+1)(x^2+4) = 5x+1 + 3xx^2+4
Agora, nossa integral fica mais fácil de resolver:
integral 8x^2+3x+20(x+1)(x^2+4) , dx = integral 5x+1 , dx + integral 3xx^2+4 , dx
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro:
integral 5x+1 , dx = 5 ln|x+1| + C1
Agora, para a segunda integral, observamos que o numerador é derivada do denominador. Vamos usar substituição:
u = x^2 + 4 du = 2x , dx du2 = x , dx
Então:
integral 3xx^2+4 , dx = 32 integral duu = 32 ln|u| + C2 = 32 ln|x^2+4| + C2
Passo 8
Finalmente, juntando as duas integrais e as constantes de integração:
integral 8x^2+3x+20(x+1)(x^2+4) , dx = 5 ln|x+1| + 32 ln|x^2+4| + C
Resposta
A integral é igual a 5 ln|x+1| + 32 ln|x^2+4| + C, onde C é a constante de integração.