Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que resolver a integral usando o método de expansão em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, a ideia é escrever a fração como uma soma de frações mais simples. Como o denominador é um produto de e , vamos supor que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar , e , vamos eliminar os denominadores multiplicando toda a equação por :
Agora, vamos expandir o lado direito:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. :
  2. :
  3. Termo constante:
Temos um sistema de três equações com três incógnitas:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos na terceira equação:
Da segunda equação, temos:
Substituindo na Eq. 4:
Agora que sabemos que , podemos encontrar e :

Passo 6

Com os valores de , e encontrados, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Agora, nossa integral fica mais fácil de resolver:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro:
Agora, para a segunda integral, observamos que o numerador é derivada do denominador. Vamos usar substituição:
Então:

Passo 8

Finalmente, juntando as duas integrais e as constantes de integração:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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