Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
integral 8 x^2+3 x+20(x+1)(x^2+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que resolver a integral integral 8x^2+3x+20(x+1)(x^2+4) , dx usando o método de expansão em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, a ideia é escrever a fração 8x^2+3x+20(x+1)(x^2+4) como uma soma de frações mais simples. Como o denominador é um produto de (x+1) e (x^2+4), vamos supor que:
8x^2+3x+20(x+1)(x^2+4) = Ax+1 + Bx + Cx^2+4
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar A, B e C, vamos eliminar os denominadores multiplicando toda a equação por (x+1)(x^2+4):
8x^2+3x+20 = A(x^2+4) + (Bx + C)(x+1)
Agora, vamos expandir o lado direito:
8x^2+3x+20 = A x^2 + 4A + Bx(x+1) + C(x+1)
8x^2+3x+20 = A x^2 + 4A + Bx^2 + Bx + Cx + C
Juntando os termos semelhantes:
8x^2+3x+20 = (A + B) x^2 + (B + C) x + (4A + C)

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. x^2: A + B = 8
  2. x: B + C = 3
  3. Termo constante: 4A + C = 20
Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
A + B = 8 B + C = 3 4A + C = 20

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
A = 8 - B
Agora, substituímos A na terceira equação:
4(8 - B) + C = 20 32 - 4B + C = 20 -4B + C = -12 (Eq 4)
Da segunda equação, temos:
C = 3 - B
Substituindo C na Eq. 4:
-4B + (3 - B) = -12 -5B + 3 = -12 -5B = -15 B = 3
Agora que sabemos que B = 3, podemos encontrar A e C:
A = 8 - 3 = 5
C = 3 - 3 = 0

Passo 6

Com os valores de A, B e C encontrados, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
8x^2+3x+20(x+1)(x^2+4) = 5x+1 + 3xx^2+4
Agora, nossa integral fica mais fácil de resolver:
integral 8x^2+3x+20(x+1)(x^2+4) , dx = integral 5x+1 , dx + integral 3xx^2+4 , dx

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro:
integral 5x+1 , dx = 5 ln|x+1| + C1
Agora, para a segunda integral, observamos que o numerador é derivada do denominador. Vamos usar substituição:
u = x^2 + 4 du = 2x , dx du2 = x , dx
Então:
integral 3xx^2+4 , dx = 32 integral duu = 32 ln|u| + C2 = 32 ln|x^2+4| + C2

Passo 8

Finalmente, juntando as duas integrais e as constantes de integração:
integral 8x^2+3x+20(x+1)(x^2+4) , dx = 5 ln|x+1| + 32 ln|x^2+4| + C

Resposta

A integral é igual a 5 ln|x+1| + 32 ln|x^2+4| + C, onde C é a constante de integração.

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