Ambientalistas estimam que, em certa cidade, a concentração média diária de monóxido de carbono no ar será C(p)=0,5 p+1 partes por milhão quando a cidade tiver uma população de p mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade dentro de t anos será p(t)=10+0,1 t^2 mil habitantes.
(a) Determine a concentração média de monóxido de carbono no ar em função do tempo.
(b) Qual será a concentração de monóxido de carbono daqui a 3 anos?
(c) Daqui a quanto tempo a concentração de monóxido de carbono atingirá o valor de 6,8 partes por milhão?

Passo 1

O enunciado dá a concentração média de monóxido de carbono em função da população em milhares de habitantes
C(p)=0,5,p+1
e a projeção da população em função do tempo em anos
p(t)=10+0,1,t^2
O conteúdo envolve composição de funções e resolução de equação quadrática.

Passo 2

Para escrever a concentração em função de t, substituímos p por p(t) em C(p):
C(t)=Cl(p(t)r)=0,5,(10+0,1,t^2)+1

Passo 3

Distribuindo e somando termos constantes, obtemos
C(t)=0,5cdot10+0,5cdot0,1,t^2+1 =5+0,05,t^2+1 =6+0,05,t^2

Passo 4

Para t=3 anos,
C(3)=6+0,05times3^2=6+0,05times9=6+0,45=6,45

Passo 5

Para achar t tal que C(t)=6,8, resolvemos
6+0,05,t^2=6,8 Longrightarrow 0,05,t^2=0,8 Longrightarrow t^2=16 Longrightarrow t=4(anos)

Resposta

(a) ;C(t)=6+0,05,t^2
(b) ;C(3)=6,45 partes por milhão.
(c) ;t=4 anos.

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