Ambientalistas de uma Organização Não Governamental, após um levantamento de dados, constataram, em uma cidade, a existência de três indústrias, I, II, III. Cada indústria participa com
respectivamente, da produção industrial da cidade. A proporção de gases poluentes lançados na atmosfera é de
pela indústria I,
pela indústria II e
pela indústria III. Uma análise da emissão de gases poluentes ou de partículas sólidas na atmosfera é realizada ao acaso nesta cidade, o que permitiu aos ambientalistas verificar a existência de poluição atmosférica. Qual a probabilidade dos gases considerados terem sido lançados pela indústria II?
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos três indústrias cujas participações na produção são diferentes e cada uma lança uma certa proporção de gases poluentes. Queremos encontrar, por meio do Teorema de Bayes, a probabilidade de que, dado que observamos poluição, esta tenha se originado da indústria II.
Passo 2
Definimos os eventos e probabilidades condicionais:
– : amostra veio da indústria I, com
.
– : amostra veio da indústria II, com
.
– : amostra veio da indústria III, com
.
– : observamos gases poluentes.
As probabilidades condicionais são
–
–
–
–
As probabilidades condicionais são
Passo 3
Pela regra da probabilidade total,
Calculando,
Passo 4
Pela fórmula de Bayes,
Resposta
A probabilidade de os gases terem sido lançados pela indústria II é aproximadamente
(ou
).