Ambientalistas de uma Organização Não Governamental, após um levantamento de dados, constataram, em uma cidade, a existência de três indústrias, I, II, III. Cada indústria participa com 40 \%, 35 \%, 25 \% respectivamente, da produção industrial da cidade. A proporção de gases poluentes lançados na atmosfera é de 2 \% pela indústria I, 1 \% pela indústria II e 3 \% pela indústria III. Uma análise da emissão de gases poluentes ou de partículas sólidas na atmosfera é realizada ao acaso nesta cidade, o que permitiu aos ambientalistas verificar a existência de poluição atmosférica. Qual a probabilidade dos gases considerados terem sido lançados pela indústria II?

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos três indústrias cujas participações na produção são diferentes e cada uma lança uma certa proporção de gases poluentes. Queremos encontrar, por meio do Teorema de Bayes, a probabilidade de que, dado que observamos poluição, esta tenha se originado da indústria II.

Passo 2

Definimos os eventos e probabilidades condicionais:
I: amostra veio da indústria I, com P(I)=0,40.
II: amostra veio da indústria II, com P(II)=0,35.
III: amostra veio da indústria III, com P(III)=0,25.
G: observamos gases poluentes.
As probabilidades condicionais são
P(G\mid I)=0,02, \quad P(G\mid II)=0,01, \quad P(G\mid III)=0,03.

Passo 3

Pela regra da probabilidade total,
P(G) = P(I)\,P(G\mid I) + P(II)\,P(G\mid II) + P(III)\,P(G\mid III) = 0,40\cdot0,02 + 0,35\cdot0,01 + 0,25\cdot0,03.
Calculando,
P(G)=0,008 + 0,0035 + 0,0075 = 0,019.

Passo 4

Pela fórmula de Bayes,
P(II\mid G) = \frac{P(II)\,P(G\mid II)}{P(G)} = \frac{0,35\cdot0,01}{0,019} = \frac{0,0035}{0,019} \approx 0,1842.

Resposta

A probabilidade de os gases terem sido lançados pela indústria II é aproximadamente 0,1842 (ou 18{,}42\%).

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