Uma indústria opera usando três máquinas similares, para aumentar a produtividade. Sejam os eventos A_{i}:=\{ a i-ésima máquina opera o turno sem apresentar defeitos \}, i=1,2,3. Considere conhecidas as probabilidades P\left(A_{i}\right)=p_{i}, e que a ocorrência de defeitos é independente nas máquinas.
Qual é a probabilidade de que pelo menos uma das máquinas esteja quebrada em dado turno?

Passo 1

O enunciado define três eventos independentes: \;A_i = “a máquina i opera o turno sem apresentar defeitos”, com
P(A_i)=p_i,\quad i=1,2,3.
Queremos a probabilidade de que pelo menos uma das máquinas esteja quebrada em um turno.

Passo 2

O evento “pelo menos uma máquina quebrada” é a união dos complementos:
\bigcup_{i=1}^3 A_i^c.

Passo 3

Pela regra do complemento,
P\Bigl(\bigcup_{i=1}^3 A_i^c\Bigr) =1 - P\Bigl(\bigl(\bigcup_{i=1}^3 A_i^c\bigr)^c\Bigr) =1 - P\Bigl(\bigcap_{i=1}^3 A_i\Bigr).

Passo 4

Como os eventos A_1,A_2,A_3 são independentes,
P\Bigl(\bigcap_{i=1}^3 A_i\Bigr) =\prod_{i=1}^3 P(A_i) =p_1\,p_2\,p_3.

Passo 5

Substituindo em (3),
P\bigl(\text{pelo menos uma quebrada}\bigr) =1 - p_1\,p_2\,p_3.

Resposta

1 - p_1\,p_2\,p_3

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