(1.5 pt) Prove que dados sete inteiros positivos, existem dois cuja soma ou a diferença é um múltiplo de 10 .

Passo 1

O enunciado pede que, dados sete inteiros positivos, a gente mostre que existe um par desses inteiros cuja soma ou cuja diferença é múltiplo de 10. O conteúdo principal aqui é aritmética modular (módulo 10) e o princípio da casa dos pombos (pigeonhole).

Passo 2

Vamos olhar os resíduos dos sete números ao dividirmos por 10. Cada número fica em uma das classes
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\pmod{10}.
Duas chaves de observação:
  1. Se dois números têm o mesmo resíduo em módulo 10, então sua diferença é múltiplo de 10.
  2. Se dois números têm resíduos i e 10-i (com 1\le i\le4 ou i=5), então sua soma é múltipla de 10.

Passo 3

Para aplicar o princípio da casa dos pombos, agrupamos as 10 classes de resíduos em 6 “caixas” assim:
\begin{aligned} C_0&=\{\text{resíduo }0\},\\\ C_5&=\{\text{resíduo }5\},\\\ C_{1,9}&=\{\text{resíduo }1\text{ ou }9\},\\\ C_{2,8}&=\{\text{resíduo }2\text{ ou }8\},\\\ C_{3,7}&=\{\text{resíduo }3\text{ ou }7\},\\\ C_{4,6}&=\{\text{resíduo }4\text{ ou }6\}. \end{aligned}íííííí
Agora, ao colocar os sete números nessas 6 caixas, por pigeonhole duas das “pombas” (números) caem na mesma caixa.

Passo 4

Se a caixa for C_0 ou C_5, então esses dois números têm o mesmo resíduo (0 ou 5), e portanto a diferença deles é múltipla de 10.
Se a caixa for C_{i,10-i} com i\in\{1,2,3,4\}, então temos dois números cujos resíduos são ou os mesmos (diferença múltipla de 10) ou um deles é i e o outro é 10-i (soma múltipla de 10). Em qualquer caso, achamos o par desejado.

Resposta

Como temos 7 números e apenas 6 caixas de resíduos, em alguma caixa haverá dois números que garantem soma ou diferença divisível por 10, provando o que se pedia.

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