(1.5 pt) Prove que dados sete inteiros positivos, existem dois cuja soma ou a diferença é um múltiplo de 10 .
Passo 1
O enunciado pede que, dados sete inteiros positivos, a gente mostre que existe um par desses inteiros cuja soma ou cuja diferença é múltiplo de 10. O conteúdo principal aqui é aritmética modular (módulo 10) e o princípio da casa dos pombos (pigeonhole).
Passo 2
Vamos olhar os resíduos dos sete números ao dividirmos por 10. Cada número fica em uma das classes
Duas chaves de observação:
- Se dois números têm o mesmo resíduo em módulo 10, então sua diferença é múltiplo de 10.
- Se dois números têm resíduos
e (com ou ), então sua soma é múltipla de 10.
Passo 3
Para aplicar o princípio da casa dos pombos, agrupamos as 10 classes de resíduos em 6 “caixas” assim:
Agora, ao colocar os sete números nessas 6 caixas, por pigeonhole duas das “pombas” (números) caem na mesma caixa.
Passo 4
Se a caixa for
ou
, então esses dois números têm o mesmo resíduo (0 ou 5), e portanto a diferença deles é múltipla de 10.
Se a caixa for com
, então temos dois números cujos resíduos são ou os mesmos (diferença múltipla de 10) ou um deles é
e o outro é
(soma múltipla de 10). Em qualquer caso, achamos o par desejado.
Se a caixa for
Resposta
Como temos 7 números e apenas 6 caixas de resíduos, em alguma caixa haverá dois números que garantem soma ou diferença divisível por 10, provando o que se pedia.