3- A American Automobile Association realizou uma pesquisa para saber o perfil de gastos de família (de 4 pessoas) que estejam de férias. Nesta pesquisa descobriu-se que a estimativa de gasto médio é de \ 215,60 diariamente cim desvio-padrão populacionalã$74,50 diariamente. Suponha que uma amostra de 64 famílias (de 4 pessoas) de férias nas Cataratas do Iguaçu tem gasto médio amostral deíéçé$ 252,45$ diariamente.
a) Calcule e interprete um IC de 95 \% de confiança para o gasto médio das famílias de férias nas Cataratas do Iguaçu.
b) A média populacional de gastos de famílias de férias está contida no intervalo das famílias que estão de férias nas Cataratas do Iguaçu. Explique.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95\% para o gasto médio diário das famílias de férias nas Cataratas do Iguaçu. Temos a seguir os dados:
\bullet Desvio-padrão populacional conhecido: \sigma = 74,50.
\bullet Tamanho da amostra: n = 64.
\bullet Média amostral observada: \bar{x} = 252,45.
O conteúdo aplicado será o IC para média com \sigma conhecido, usando a distribuição normal padrão.

Passo 2

Para um IC de 95\%, tomamos \alpha = 0,05 e o valor crítico
z_{1-\frac\alpha2} = z_{0,975} = 1,96.
A margem de erro é
E = z_{1-\frac\alpha2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \times \frac{74,50}{\sqrt{64}} = 1,96 \times \frac{74,50}{8} = 1,96 \times 9,3125 \approx 18,25.
Assim o intervalo de confiança é
\bar x \pm E \quad\Longrightarrow\quad 252,45 \pm 18,25
isto é,
[\,252,45 - 18,25 \;;\; 252,45 + 18,25\,] = [\,234,20 \;;\; 270,70\,].

Passo 3

Interpretando: temos 95% de confiança de que o verdadeiro gasto médio diário das famílias de férias nas Cataratas do Iguaçu está entre \$234,20 e \$270,70.

Passo 4

A média populacional geral de férias, \$215,60, não está dentro de [234,20;270,70], pois 215,60 < 234,20. Isso indica que o gasto médio nas Cataratas do Iguaçu difere (é maior) do gasto médio populacional geral.

Resposta

a) Um IC de 95% para o gasto médio diário em Cataratas do Iguaçu é
[\,\$234{,}20\;;\;\$270{,}70\,].
b) A média populacional geral de \$215{,}60 não está contida nesse intervalo (fica abaixo do limite inferior), mostrando que o gasto médio nas Cataratas do Iguaçu é estatisticamente maior.

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