4- Os valores da venda mensal de determinada marca de carro popular têm distribuição Normal com desviopadrão R \ 500,00 . O gerente da loja afirma vender, em média,éR $54700,00$. O dono da loja, querendo verificar a veracidade de tal afirmativa, seleciona uma amostra aleatória das vendas em um determinado mês, obtendo os seguintes valores:
53840,00 52960,00 61815,00 52940,00 52115,00
52740,00 55050,00 53010,00 53590,00 55060,00
(a) Obtenha um IC de 95 \% para a venda média mensal
(b) Obtenha um IC de 99 \% para a venda média mensal
(c) Explique em qual dos dois IC o gerente se baseou para fazer a afirmação.

Passo 1

O enunciado diz que as vendas mensais de um carro popular seguem \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) com \sigma=R\$\,500. O gerente afirma que \mu=R\$\,54\,700. O dono coletou uma amostra aleatória de tamanho n=10 com os valores fornecidos. Vamos calcular os intervalos de confiança para \mu nos níveis de 95\% e 99\% usando que, para \sigma conhecido,
IC_{1-\alpha}(\mu)=\bar x\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt n}.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar x e o erro padrão:
\sum_{i=1}^{10}x_i = 543120,
\bar x = \frac{543120}{10} = 54\,312,
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt n} = \frac{500}{\sqrt{10}}\approx 158{,}11.ã

Passo 3

Para 95\% de confiança temos z_{0,025}=1{,}96. A margem de erro é
m_{95} = 1{,}96 \times 158{,}11 \approx 309{,}92.
Logo
IC_{95\%} = [\,54\,312 - 309{,}92;\;54\,312 + 309{,}92\,] = [\,54\,002{,}08;\;54\,621{,}92\,].

Passo 4

Para 99\% de confiança temos z_{0,005}=2{,}5758. A margem de erro é
m_{99} = 2{,}5758 \times 158{,}11 \approx 407{,}14.
Logo
IC_{99\%} = [\,54\,312 - 407{,}14;\;54\,312 + 407{,}14\,] = [\,53\,904{,}86;\;54\,719{,}14\,].

Passo 5

O valor alegado pelo gerente, R\$\,54\,700, não está dentro de IC_{95\%}=[54\,002{,}08;54\,621{,}92] mas está dentro de IC_{99\%}=[53\,904{,}86;54\,719{,}14]. Portanto, o gerente se baseou no intervalo de confiança de 99\% para fazer sua afirmação.

Resposta

(a) IC_{95\%} = [\,54\,002{,}08;\;54\,621{,}92\,]
(b) IC_{99\%} = [\,53\,904{,}86;\;54\,719{,}14\,]
(c) O gerente usou o intervalo de confiança de 99\%.

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