2- Jackobsen é um estudante de mestrado muito dedicado e acaba de terminar a primeira versão de sua dissertação de 700 páginas. Jackobsen digitou todo o trabalho e está interessado em conhecer o número médio de erros de digitação por página, mas ele não quer ler todo o documento. Com seus conhecimentos de Estatística ele adotou o seguinte procedimento: ele leu 40 páginas de forma aleatória e encontrou em média de 4,3 erros tipográficos e com desvio-padrão amostral de 1.2 erros por página. Calcule um intervalo com 90 \% de confiabilidade para o número de erros tipográficos. Seria conveniente construir um intervalo de confiança com maior confiabilidade? Explique.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=40 com média amostral \bar X = 4,3 erros por página e desvio-padrão amostral s = 1,2. O objetivo é construir um intervalo de confiança de 90\% para a média verdadeira de erros por página. O conteúdo envolvido é intervalo de confiança para a média de uma população normal (ou CLT) usando a distribuição t de Student.

Passo 2

O intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média \mu é dado por
\bar X \pm t_{1-\tfrac\alpha2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt n}
onde \alpha = 0,10, n-1 = 39 e t_{1-\tfrac\alpha2,\,39} é o quantil da t-Student.

Passo 3

Para \alpha=0,10 temos \alpha/2=0,05. O valor crítico é
t_{0,95,\,39} \approx 1,685.

Passo 4

Calculamos o erro padrão da média:
\text{se} = \frac{s}{\sqrt n} = \frac{1,2}{\sqrt{40}} \approx 0,19.

Passo 5

O semi-amplitude do intervalo é
m = t_{0,95,\,39}\times \text{se} \approx 1,685\times 0,19 \approx 0,32.

Passo 6

Logo, o intervalo de confiança de 90\% para \mu é
4,3 \pm 0,32
ou seja
(4,3 - 0,32,\;4,3 + 0,32) = (3,98,\;4,62).

Passo 7

Quanto à conveniência de usar maior confiabilidade, um nível mais alto (por exemplo 95\%) aumenta a segurança, mas também aumenta a amplitude do intervalo e reduz a precisão. A escolha depende do trade-off entre confiança e precisão: se Jackobsen precisar de mais certeza, pode optar por 95\%, sabendo que o intervalo ficará mais largo.

Resposta

O intervalo de confiança de 90\% para o número médio de erros tipográficos por página é
(3,98,\;4,62).
Usar um nível de confiança maior (por exemplo 95\%) dá mais segurança de conter a média verdadeira, mas resulta em um intervalo mais largo e menos preciso.

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