5- Sabe-se que o tamanho da baleia azul se distribui segundo uma variável Normal com desvio-padrão 7,5 \mathrm{~m}. Selecionou-se uma amostra aleatória de vinte e cinco unidades e obteve-se o seguinte intervalo de confiança [21.06; 26.94]. Determine o tamanho médio das baleias e o nível de confiabilidade utilizado para determinar este intervalo.

Passo 1

O enunciado diz que o tamanho das baleias segue distribuição Normal com desvio-padrão \sigma=7,5 m. Selecionou-se uma amostra de tamanho n=25 e obteve-se o intervalo de confiança [21,06;26,94] para a média populacional. Queremos encontrar a estimativa pontual (média amostral) e o nível de confiança usado. Como \sigma é conhecido, usamos a fórmula do intervalo de confiança para média:
\bar x \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 2

Para encontrar a média amostral, calculamos o ponto médio do intervalo:
\bar x = \frac{21,06 + 26,94}{2} = 24.

Passo 3

A margem de erro E é a metade da largura do intervalo:
E = \frac{26,94 - 21,06}{2} = 2,94.
O erro padrão da média é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{7,5}{\sqrt{25}} = \frac{7,5}{5} = 1,5.

Passo 4

O valor crítico z_{\alpha/2} satisfaz
z_{\alpha/2} = \frac{E}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{2,94}{1,5} = 1,96.
Na distribuição Normal padrão \Phi(1,96)=0,975, logo o nível de confiança é
1 - \alpha = 2\Phi(1,96)-1 = 2 \times 0,975 - 1 = 0,95,
ou seja, 95\%.

Resposta

A média amostral é 24 m e o nível de confiança utilizado é 95\%.

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