Um perfil de velocidade parabólico foi usado para modelar o escoamento em uma camada-limite laminar e incompressível no Problema 5.11. Deduza a função de corrente para este campo de escoamento. Localize as linhas de corrente a um quarto e a um meio da vazão volumétrica total na camada-limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um perfil de velocidade parabólico que modela o escoamento numa camada-limite laminar e incompressível. O que isso significa? Bom, a camada-limite é a região próxima à superfície onde o fluido (tipo um líquido ou gás) está se movendo, e laminar indica que as camadas do fluido estão deslizando de forma ordenada, sem turbulência. A tarefa aqui é deduzir a função de corrente para esse tipo de escoamento e encontrar as linhas de corrente que correspondem a um quarto e a metade da vazão volumétrica total na camada-limite. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente os relacionados a funções de corrente e perfis de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de corrente. Em fluxo bidimensional e incompressível, a função de corrente, $ \psi $, é uma função cuja derivada parcial em relação a $ y $ nos dá a componente de velocidade em $ x $, e a derivada parcial em relação a $ x $ nos dá a componente de velocidade em $ -y $. Isso facilita a visualização das linhas de corrente, já que $ \psi $ é constante ao longo de cada linha de corrente.
Passo 3
Sabendo que o perfil de velocidade é parabólico, podemos representar a componente de velocidade na direção $ x $ como:
Aqui, $ U_{max} $ é a velocidade máxima na camada-limite e $ \delta $ é a espessura da camada-limite.
Passo 4
Como o escoamento é incompressível, a componente de velocidade na direção $ y $, $ v(y) $, está relacionada com $ u(y) $ pela equação de continuidade. Para fluxo unidimensional e incompressível, temos:
Como estamos assumindo que o perfil de velocidade não depende de $ x $ (escoamento estacionário e unidimensional), temos $ \frac{\partial u}{\partial x} = 0 $, então $ \frac{\partial v}{\partial y} = 0 $. Isso implica que $ v $ é constante, mas como não há fluxo na direção $ y $ no escoamento liminar, $ v = 0 $.
Passo 5
Agora, vamos deduzir a função de corrente $ \psi $. Sabemos que:
Como $ v = 0 $, isso significa que $ \frac{\partial \psi}{\partial x} = 0 $, então $ \psi $ depende apenas de $ y $. Integrando $ u(y) $ em relação a $ y $, temos:
Passo 6
Vamos fazer a integração:
Onde $ C $ é a constante de integração. Como a função de corrente pode ser definida para ser zero na superfície ($ y = 0 $), temos $ C = 0 $. Portanto:
Passo 7
Agora, precisamos localizar as linhas de corrente que correspondem a um quarto e metade da vazão volumétrica total na camada-limite. Primeiro, vamos determinar a vazão volumétrica total $ Q $.
A vazão volumétrica é a integral da velocidade sobre a área da seção transversal:
Calculando a integral:
Passo 8
Queremos encontrar as linhas de corrente $ \psi $ que correspondem a $ \frac{Q}{4} $ e $ \frac{Q}{2} $:
Agora, igualamos essas quantias à função de corrente $ \psi(y) $ e resolvemos para $ y $:
Para $ \psi = \frac{U_{max} \delta}{6} $:
Para $ \psi = \frac{U_{max} \delta}{3} $:
Resposta
A função de corrente para o escoamento é:
As linhas de corrente correspondentes a um quarto e a metade da vazão volumétrica total na camada-limite são obtidas resolvendo $ \psi = \frac{U_{max} \delta}{6} $ e $ \psi = \frac{U_{max} \delta}{3} $, respectivamente. Essas equações determinam as posições $ y $ das linhas de corrente desejadas dentro da camada-limite.