9- Para determinar a constante elástica k de uma mola de tração, um grupo de alunos mediu com o cronômetro, dez períodos de oscilação do MHS produzido com a conexão de quatro massas diferentes no final da mola. O valor de cada massa havia sido medido previamente numa balança. Os resultados obtidos estão dispostos na tabela abaixo. Pede-se:
a) Explique porque não devem ser calculadas as médias dos valores de massa m e do período de oscilação T medidos.
b) Preencha a última linha da tabela com os valores da constante elástica \mathbf{k} da mola.
c) Aplique agora uma análise estatística para determinar a melhor estimativa para a constante \mathbf{k} da mola e sua incerteza do tipo A.
d) Considerando que a balança e o cronômetro utilizados apresentavam incertezas do tipo B de 1 \% e 0,5 \% respectivamente, determine a incerteza total na constante \mathbf{k} da mola.
e) Utilizando os pontos experimentais da tabela, qual o tipo de função y(x) você escolheria para fazer um ajuste de curva de variação do período de oscilação T do MHS em função da massa m ? Qual(is) o(s) parâmetro(s) que seria(m) obtido(s) como resultado do procedimento de ajuste?
Medidas de massa e período de oscilação para determinação da constante elástica \mathbf{k} de uma mola de tração.
Medida 1 2 3 4
Massa (m) [kg] 0,513 0,634 0,752 0,950
Dez períodos de oscilação (10T) [s] 12,4 13,6 15,0 16,9
Constante elástica da mola (k) [N/m]

Passo 1

O enunciado fornece quatro pares de medidas de massa (m) e tempo de dez oscilações (10T) de um MHS com mola, e pede que a gente determine a constante elástica k. O conteúdo é o movimento harmônico simples, em que
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
e, isolando k, teremos
k = \frac{4\pi^2\,m}{T^2}.

Passo 2

Não faz sentido calcular a média de m e a média de T e inserir esses valores na fórmula de k, porque a relação entre k, m e T é não-linear T\propto\sqrt{m}. Se você usar médias de m e T vai introduzir viés. O procedimento correto é calcular k para cada par (m,T) e então tratar estatisticamente esses valores de k.

Passo 3

Para cada medida calculamos
k_i = \frac{4\pi^2\,m_i}{T_i^2},
onde T_i = (\text{dez períodos})/10í. Os valores são:
Para m_1=0{,}513,kg e T_1=12{,}4/10=1{,}24,s,
k_1 = \frac{4\pi^2\times0{,}513}{(1{,}24)^2}\approx13{,}17\text{ N/m}.
Para m_2=0{,}634,kg e T_2=1{,}36,s,
k_2 \approx\frac{4\pi^2\times0{,}634}{(1{,}36)^2}\approx13{,}53\text{ N/m}.
Para m_3=0{,}752,kg e T_3=1{,}50,s,
k_3 \approx\frac{4\pi^2\times0{,}752}{(1{,}50)^2}\approx13{,}18\text{ N/m}.
Para m_4=0{,}950,kg e T_4=1{,}69,s,
k_4 \approx\frac{4\pi^2\times0{,}950}{(1{,}69)^2}\approx13{,}13\text{ N/m}.
Preenchendo a última linha da tabela:
Medida 1 2 3 4
k [N/m] 13,17 13,53 13,18 13,13

Passo 4

Para a análise tipo A calculamos a média e o desvio-padrão dos k_i. A média é
\overline{k} = \frac{k_1 + k_2 + k_3 + k_4}{4} \approx13{,}25\text{ N/m}.
O desvio-padrão amostral é
s = \sqrt{\frac{1}{3}\sum_{i=1}^4 (k_i - \overline{k})^2}\approx0{,}19\text{ N/m},
e a incerteza tipo A (desvio-padrão da média) é
u_A = \frac{s}{\sqrt{4}}\approx0{,}093\text{ N/m}.

Passo 5

Para a incerteza tipo B, adotamos 1\% em m e 0{,}5\% em T. Como
k\propto m\,T^{-2},
a incerteza relativa de k é
\frac{u_B}{k} = \sqrt{\bigl(\tfrac{u_m}{m}\bigr)^2 + \bigl(-2\,\tfrac{u_T}{T}\bigr)^2} = \sqrt{(0,01)^2 + (2\times0,005)^2} \approx0{,}01414.
Na média \overline{k}=13{,}25,N/m, temos
u_B = 0{,}01414\times13{,}25\approx0{,}19\text{ N/m}.
A incerteza total combina tipo A e B:
u_{\text{total}} = \sqrt{u_A^2 + u_B^2} \approx\sqrt{0{,}093^2 + 0{,}19^2} \approx0{,}21\text{ N/m}.

Passo 6

Para ajustar T em função de m, o ideal é usar a forma linearizada
T^2 = \frac{4\pi^2}{k}\,m,
ou então ajustar diretamente
T = A\,\sqrt{m},
com A=2\pi/\sqrt{k}. No primeiro caso o parâmetro de ajuste é a inclinação \,4\pi^2/k, e daí se obtém k. No segundo caso o parâmetro é A, de onde k=(2\pi/A)^2.

Resposta

a) Porque a relação k(m,T) é não-linear; usar médias de m e de T gera viés.
b) k_1=13{,}17, k_2=13{,}53, k_3=13{,}18, k_4=13{,}13,N/m.
c) \overline{k}=13{,}25,N/m, u_A=0{,}093,N/m.
d) u_B=0{,}19,N/m, u_{\text{total}}=0{,}21,N/m.
e) Ajuste linear em T^2 vs.\ m T^2=(4\pi^2/k)m ou ajuste T=A\sqrt{m}. O parâmetro ajustado é a inclinação 4\pi^2/k (ou A).

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