9- Para determinar a constante elástica k de uma mola de tração, um grupo de alunos mediu com o cronômetro, dez períodos de oscilação do MHS produzido com a conexão de quatro massas diferentes no final da mola. O valor de cada massa havia sido medido previamente numa balança. Os resultados obtidos estão dispostos na tabela abaixo. Pede-se:
a) Explique porque não devem ser calculadas as médias dos valores de massa m e do período de oscilação T medidos.
b) Preencha a última linha da tabela com os valores da constante elástica \mathbf{k} da mola.
c) Aplique agora uma análise estatística para determinar a melhor estimativa para a constante \mathbf{k} da mola e sua incerteza do tipo A.
d) Considerando que a balança e o cronômetro utilizados apresentavam incertezas do tipo B de 1 \% e 0,5 \% respectivamente, determine a incerteza total na constante \mathbf{k} da mola.
e) Utilizando os pontos experimentais da tabela, qual o tipo de função y(x) você escolheria para fazer um ajuste de curva de variação do período de oscilação T do MHS em função da massa m ? Qual(is) o(s) parâmetro(s) que seria(m) obtido(s) como resultado do procedimento de ajuste?
Medidas de massa e período de oscilação para determinação da constante elástica \mathbf{k} de uma mola de tração.
Medida
1
2
3
4
Massa (m) [kg]
0,513
0,634
0,752
0,950
Dez períodos de oscilação (10T) [s]
12,4
13,6
15,0
16,9
Constante elástica da mola (k) [N/m]
Passo 1
O enunciado fornece quatro pares de medidas de massa (m) e tempo de dez oscilações (10T) de um MHS com mola, e pede que a gente determine a constante elástica k. O conteúdo é o movimento harmônico simples, em que
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
e, isolando k, teremos
k = \frac{4\pi^2\,m}{T^2}.
Passo 2
Não faz sentido calcular a média de m e a média de T e inserir esses valores na fórmula de k, porque a relação entre k, m e T é não-linear T\propto\sqrt{m}. Se você usar médias de m e T vai introduzir viés. O procedimento correto é calcular k para cada par (m,T) e então tratar estatisticamente esses valores de k.
Passo 3
Para cada medida calculamos
k_i = \frac{4\pi^2\,m_i}{T_i^2},
onde T_i = (\text{dez períodos})/10. Os valores são:
Para m_1=0{,}513,kg e T_1=12{,}4/10=1{,}24,s,
Para ajustar T em função de m, o ideal é usar a forma linearizada
T^2 = \frac{4\pi^2}{k}\,m,
ou então ajustar diretamente
T = A\,\sqrt{m},
com A=2\pi/\sqrt{k}. No primeiro caso o parâmetro de ajuste é a inclinação \,4\pi^2/k, e daí se obtém k. No segundo caso o parâmetro é A, de onde k=(2\pi/A)^2.
Resposta
a) Porque a relação k(m,T) é não-linear; usar médias de m e de T gera viés.
b) k_1=13{,}17, k_2=13{,}53, k_3=13{,}18, k_4=13{,}13,N/m.
c) \overline{k}=13{,}25,N/m, u_A=0{,}093,N/m.
d) u_B=0{,}19,N/m, u_{\text{total}}=0{,}21,N/m.
e) Ajuste linear em T^2 vs.\ m T^2=(4\pi^2/k)m ou ajuste T=A\sqrt{m}. O parâmetro ajustado é a inclinação 4\pi^2/k (ou A).