Suponha que o tempo X, em minutos, necessário para um operário processar certa peça seja uma v.a. com a seguinte f p :
X=x 2 3 4 5 6 7
p(x)=P(X=x) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1
(a) Qual a probabilidade do tempo de processamento ser no máximo 3 minutos? Resp.: 0,2
(b) Sabendo-se que o tempo de processamento foi mais de 3 minutos, qual a probabilidade dele não ultrapassar 6 minutos? Resp.: 0,875
(c) Calcule o tempo esperado de processamento. Resp.: 4, 6 minutos
(d) Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de R \ 2,00 , mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganhaçR $0,50 \mathrm{em} cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos, ganha a quantia adicional deçR $ 1,00 . Encontre a função de probabilidade, a média, a variância e o desvio padrão da v.a.çãéâãY : quantia ganha por peça, em reais. Resp.:ç\mathrm{E}(Y)=2,75 reais;\operatorname{Var}(Y)=0,4125 reais^{2} e\mathrm{DP}(Y) \simeq 0,6423$ reais

Passo 1

O enunciado define a v.a. discreta X com suporte \{2,3,4,5,6,7\} e pmf dada por
P(X=2)=0,1,\;P(X=3)=0,1,\;P(X=4)=0,3,\;P(X=5)=0,2,\;P(X=6)=0,2,\;P(X=7)=0,1.
Precisamos calcular
(a) a probabilidade acumulada até 3;
(b) a probabilidade condicional de não ultrapassar 6 dado que foi maior que 3;
(c) a esperança de X;
(d) para Y, o ganho por peça (transformação de X), a pmf de Y, \E(Y), \Var(Y) e \sigma_Y.
Os tópicos são probabilidade acumulada, probabilidade condicional, esperança, variância e transformação de v.a. discreta.

Passo 2

Para (a), queremos
P(X\le3)=P(X=2)+P(X=3)=0,1+0,1=0,2.

Passo 3

Para (b), calculamos
P(3<X\le6\mid X>3) =\frac{P(X\in\{4,5,6\})}{P(X>3)} =\frac{0,3+0,2+0,2}{0,3+0,2+0,2+0,1} =\frac{0,7}{0,8}=0,875.

Passo 4

Para (c), usamos definição de esperança:
\E(X) =\sum_{x}x\,P(X=x) =2\cdot0,1+3\cdot0,1+4\cdot0,3+5\cdot0,2+6\cdot0,2+7\cdot0,1 =4,6.

Passo 5

Para (d), o ganho Y\) vale \(\displaystyle Y=2+\begin{cases}0,5\,(6-X),&X<6,\\\ 0,&X\ge6,\end{cases}
isto é os valores possíveis de Y\) são \[Y=\begin{cases} 4,&\text{se }X=2,\\\\ 3,5,&\text{se }X=3,\\\\ 3,&\text{se }X=4,\\\\ 2,5,&\text{se }X=5,\\\\ 2,&\text{se }X\in\{6,7\}. \end{cases}
Logo a pmf de (Y] é
P(Y=4)=0,1,\;P(Y=3,5)=0,1,\;P(Y=3)=0,3,\;P(Y=2,5)=0,2,\;P(Y=2)=0,3.

Passo 6

Calculamos \E(Y):
\E(Y) =4\cdot0,1+3,5\cdot0,1+3\cdot0,3+2,5\cdot0,2+2\cdot0,3 =2,75.

Passo 7

Para a variância, primeiro \E(Y^2):
\E(Y^2) =4^2\cdot0,1+3,5^2\cdot0,1+3^2\cdot0,3+2,5^2\cdot0,2+2^2\cdot0,3 =7,975.
Então
\Var(Y)=\E(Y^2)-[\E(Y)]^2 =7,975-(2,75)^2 =0,4125,
e o desvio padrão é
\sigma_Y=\sqrt{\Var(Y)}\approx0,6423.

Resposta

(a) 0,2
(b) 0,875
(c) 4,6 minutos
(d) pmf de Y: \,P(Y=4)=0,1,\;P(Y=3,5)=0,1,\;P(Y=3)=0,3,\;P(Y=2,5)=0,2,\;P(Y=2)=0,3; \E(Y)=2,75 reais; \Var(Y)=0,4125\ reais ^2; \sigma_Y\approx0,6423 reais.

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