A probabilidade de que uma pessoa nos Estados Unidos tenha tipo sanguíneo \mathrm{AB}^{+}é de 3 \%. Cinco pessoas não relacionadas são selecionadas aleatoriamente.
Encontre a probabilidade de que nenhuma das cinco tenha esse tipo sanguíneo.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede uma coisa clara:
  • Probabilidade de uma pessoa ter tipo sanguíneo \mathrm{AB}^{+}: 3\%.
  • São selecionadas 5 pessoas não relacionadas, aleatoriamente.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que nenhuma das cinco tenha o tipo \mathrm{AB}^{+}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A probabilidade de sucesso (ter \mathrm{AB}^{+}) para cada pessoa é p = 3\% = 0,03.
  • Presume-se que as escolhas são independentes (pessoas não relacionadas, selecionadas aleatoriamente).
  • Queremos a probabilidade de zero sucessos em n=5 tentativas.

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (com calma e sem jargões):
  • Cada pessoa é um experimento com dois resultados possíveis: "tem \mathrm{AB}^{+}" (sucesso) com probabilidade p ou "não tem \mathrm{AB}^{+}" (falha) com probabilidade 1-p.
  • Quando temos várias tentativas independentes, a probabilidade de acontecerem várias coisas em conjunto é o produto das probabilidades individuais. Por exemplo, a probabilidade de duas pessoas consecutivas não terem \mathrm{AB}^{+} seria (1-p)\times(1-p)=(1-p)^2.
  • O caso geral de "nenhuma das n pessoas tem \mathrm{AB}^{+}" corresponde a zero sucessos em n tentativas independentes. Pela regra do produto, a probabilidade é (1-p)^n.
Também podemos ver isso como um caso do modelo binomial: a probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é
\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}.
Para k=0 (nenhum sucesso) isso vira
\binom{n}{0} p^{0} (1-p)^{n} = (1-p)^{n},
pois \binom{n}{0}=1 e p^{0}=1.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema:
  • Temos p = 0,03 então 1-p = 0,97.
  • Número de pessoas n=5.
    Logo a probabilidade desejada é
(1-p)^n = (0,97)^5.

Passo 4

Vou calcular (0,97)^5 passo a passo de forma que dê para fazer sem calculadora, mostrando multiplicações sucessivas:
0,97^2 = 0,9409.
0,97^3 = 0,9409 \times 0,97 = 0,912673.
0,97^4 = 0,912673 \times 0,97 = 0,88529281.
0,97^5 = 0,88529281 \times 0,97 = 0,8587340257.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida: (0,97)^5 \approx 0,8587, ou cerca de 85,87\%. Faz sentido: como apenas 3\% da população tem \mathrm{AB}^{+}, é bem provável que em um grupo pequeno de cinco pessoas nenhuma tenha — por volta de 86\% de chance.

Resposta

(0,97)^5 \approx 0,8587340257

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