Em uma amostra de 1.000 pessoas, 120 são canhotas. Duas pessoas não relacionadas são selecionadas aleatoriamente sem reposição.
Encontre a probabilidade de que nenhuma seja canhota.
Encontre a probabilidade de que nenhuma seja canhota.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Tamanho da amostra total:
. - Número de pessoas canhotas:
. - Logo, número de pessoas não canhotas (destros):
. - Duas pessoas são selecionadas aleatoriamente, sem reposição (ou seja, a segunda seleção ocorre num total menor se a primeira pessoa foi destro).
Pergunta: encontrar a probabilidade de que nenhuma das duas pessoas selecionadas seja canhota (ou seja, as duas sejam destros).
Passo 2
Conceito e estratégia (explicação didática):
- Quando selecionamos sem reposição, a probabilidade do segundo evento depende do que ocorreu no primeiro. Por isso usamos a regra do produto com probabilidade condicional:
onde
é o evento “primeira pessoa é destro” e
é “segunda pessoa é destro”.
- Vamos calcular
e e multiplicá-las para obter a probabilidade de as duas serem destros (nenhuma canhota).
Passo 3
Calcular
probabilidade da primeira pessoa ser destro:
- Há
destros entre pessoas, então
Explicando: uma probabilidade é sempre razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, quando todos são igualmente prováveis.
Passo 4
Calcular
probabilidade da segunda pessoa ser destro dado que a primeira foi destro:
- Se a primeira foi destro, restam
destros e o total de pessoas passa a ser . - Logo
Isso é condicional porque dependemos da informação que a primeira retirada foi destro.
Passo 5
Multiplicar para obter a probabilidade desejada:
Podemos deixar na forma exata ou simplificar/numerar:
Também existe uma forma combinatória equivalente (útil para problemas com seleção sem ordem): escolher 2 destros dentre 880 dividido por escolher 2 dentre 1000,
que é algebraicamente igual ao produto acima.
Passo 6
Calcular aproximação decimal (útil para interpretar o valor):
- Fazendo a divisão, obtém-se aproximadamente
Interpretação rápida: cerca de
de chance de que, ao retirar duas pessoas sem reposição, nenhuma seja canhota.