Em uma amostra de 1.000 pessoas, 120 são canhotas. Duas pessoas não relacionadas são selecionadas aleatoriamente sem reposição.
Encontre a probabilidade de que nenhuma seja canhota.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Tamanho da amostra total: \,1000\,.
  • Número de pessoas canhotas: \,120\,.
  • Logo, número de pessoas não canhotas (destros): \,1000-120=880\,.
  • Duas pessoas são selecionadas aleatoriamente, sem reposição (ou seja, a segunda seleção ocorre num total menor se a primeira pessoa foi destro).
    Pergunta: encontrar a probabilidade de que nenhuma das duas pessoas selecionadas seja canhota (ou seja, as duas sejam destros).

Passo 2

Conceito e estratégia (explicação didática):
  • Quando selecionamos sem reposição, a probabilidade do segundo evento depende do que ocorreu no primeiro. Por isso usamos a regra do produto com probabilidade condicional:
P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\cdot P(B\mid A),
onde A é o evento “primeira pessoa é destro” e B é “segunda pessoa é destro”.
  • Vamos calcular P(A) e P(B\mid A) e multiplicá-las para obter a probabilidade de as duas serem destros (nenhuma canhota).

Passo 3

Calcular P(A)= probabilidade da primeira pessoa ser destro:
  • \,880\, destros entre \,1000\, pessoas, então
P(A)=\frac{880}{1000}.
Explicando: uma probabilidade é sempre razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, quando todos são igualmente prováveis.

Passo 4

Calcular P(B\mid A)= probabilidade da segunda pessoa ser destro dado que a primeira foi destro:
  • Se a primeira foi destro, restam \,879\, destros e o total de pessoas passa a ser \,999\,.
  • Logo
P(B\mid A)=\frac{879}{999}.
Isso é condicional porque dependemos da informação que a primeira retirada foi destro.

Passo 5

Multiplicar para obter a probabilidade desejada:
P(\text{nenhuma canhota})=P(A)\cdot P(B\mid A)=\frac{880}{1000}\cdot\frac{879}{999}.
Podemos deixar na forma exata ou simplificar/numerar:
\frac{880\cdot879}{1000\cdot999}=\frac{773520}{999000}.
Também existe uma forma combinatória equivalente (útil para problemas com seleção sem ordem): escolher 2 destros dentre 880 dividido por escolher 2 dentre 1000,
\frac{\binom{880}{2}}{\binom{1000}{2}},
que é algebraicamente igual ao produto acima.

Passo 6

Calcular aproximação decimal (útil para interpretar o valor):
  • Fazendo a divisão, obtém-se aproximadamente
\frac{773520}{999000}\approx0,774294.
Interpretação rápida: cerca de 77,4\% de chance de que, ao retirar duas pessoas sem reposição, nenhuma seja canhota.

Resposta

\dfrac{880\cdot879}{1000\cdot999}=\dfrac{773520}{999000}\approx0,774294

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