Doze lâmpadas são testadas para verificar se duram pelo menos o tempo afirmado pelo fabricante. Três lâmpadas falham no teste. Duas lâmpadas são selecionadas aleatoriamente, sem reposição.
Encontre a probabilidade de que ambas as lâmpadas tenham falhado no teste.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Doze lâmpadas são testadas: há 12 lâmpadas no total.
  • Três delas falham no teste: há 3 lâmpadas defeituosas (falhadas) e, portanto, 12-3=9 lâmpadas que não falharam.
  • Selecionam-se aleatoriamente duas lâmpadas sem reposição.
O enunciado pede: encontrar a probabilidade de que ambas as lâmpadas selecionadas tenham falhado no teste.

Passo 2

Entendendo o experimento: como a seleção é sem reposição, a escolha da segunda lâmpada depende do resultado da primeira. Uma maneira direta e intuitiva de calcular é usar probabilidade condicional multiplicativa: a probabilidade de que as duas falhem é a probabilidade da primeira falhar multiplicada pela probabilidade da segunda falhar dado que a primeira falhou. Esquema:
P(\text{ambas falham}) = P(\text{1ª falha}) \cdot P(\text{2ª falha} \mid \text{1ª falha}).ªªª

Passo 3

Calculemos cada termo do produto. A probabilidade da primeira lâmpada falhar é o número de lâmpadas falhas dividido pelo total:
P(\text{1ª falha}) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}.ª
Se a primeira falhou, restam 3-1=2 lâmpadas falhas e 12-1=11 lâmpadas no total. Então a probabilidade da segunda falhar dado que a primeira falhou é
P(\text{2ª falha} \mid \text{1ª falha}) = \dfrac{2}{11}.ªª
Multiplicando:
P(\text{ambas falham}) = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2}{11} = \dfrac{2}{44} = \dfrac{1}{22}.

Passo 4

Outra forma de ver (útil para provas): método combinatório (modelo hipergeométrico). A probabilidade é o número de maneiras de escolher 2 lâmpadas falhas entre as 3 disponíveis dividido pelo número de maneiras de escolher 2 lâmpadas quaisquer entre 12. Usamos combinações:
P(\text{ambas falham}) = \dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{12}{2}}.
Lembrete rápido: \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}, onde n! é o fatorial (produto dos inteiros positivos até n).

Passo 5

Calculemos as combinações numericamente.
\binom{3}{2}=\dfrac{3!}{2!1!}=\dfrac{3\cdot2\cdot1}{2\cdot1\cdot1}=3.
\binom{12}{2}=\dfrac{12!}{2!10!}=\dfrac{12\cdot11}{2\cdot1}=66.
Portanto
P(\text{ambas falham})=\dfrac{3}{66}=\dfrac{1}{22},
o mesmo resultado obtido no método condicional. Bom sinal — dois caminhos diferentes, mesma resposta.

Passo 6

Interpretação final e aproximação decimal para intuir a ordem de grandeza:
\dfrac{1}{22}\approx 0{,}04545\ldots
Logo, a chance de ambas as lâmpadas selecionadas terem falhado é pequena, cerca de 4{,}545\%.

Resposta

\dfrac{1}{22} (aproximadamente 0{,}04545)

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