Doze lâmpadas são testadas para verificar se duram pelo menos o tempo afirmado pelo fabricante. Três lâmpadas falham no teste. Duas lâmpadas são selecionadas aleatoriamente, sem reposição.
Encontre a probabilidade de que ambas as lâmpadas tenham falhado no teste.
Encontre a probabilidade de que ambas as lâmpadas tenham falhado no teste.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Doze lâmpadas são testadas: há
lâmpadas no total. - Três delas falham no teste: há
lâmpadas defeituosas (falhadas) e, portanto, lâmpadas que não falharam. - Selecionam-se aleatoriamente duas lâmpadas sem reposição.
O enunciado pede: encontrar a probabilidade de que ambas as lâmpadas selecionadas tenham falhado no teste.
Passo 2
Entendendo o experimento: como a seleção é sem reposição, a escolha da segunda lâmpada depende do resultado da primeira. Uma maneira direta e intuitiva de calcular é usar probabilidade condicional multiplicativa: a probabilidade de que as duas falhem é a probabilidade da primeira falhar multiplicada pela probabilidade da segunda falhar dado que a primeira falhou. Esquema:
Passo 3
Calculemos cada termo do produto. A probabilidade da primeira lâmpada falhar é o número de lâmpadas falhas dividido pelo total:
Se a primeira falhou, restam
lâmpadas falhas e
lâmpadas no total. Então a probabilidade da segunda falhar dado que a primeira falhou é
Multiplicando:
Passo 4
Outra forma de ver (útil para provas): método combinatório (modelo hipergeométrico). A probabilidade é o número de maneiras de escolher 2 lâmpadas falhas entre as 3 disponíveis dividido pelo número de maneiras de escolher 2 lâmpadas quaisquer entre 12. Usamos combinações:
Lembrete rápido:
, onde
é o fatorial (produto dos inteiros positivos até
).
Passo 5
Calculemos as combinações numericamente.
Portanto
o mesmo resultado obtido no método condicional. Bom sinal — dois caminhos diferentes, mesma resposta.
Passo 6
Interpretação final e aproximação decimal para intuir a ordem de grandeza:
Logo, a chance de ambas as lâmpadas selecionadas terem falhado é pequena, cerca de
.