Uma amostra de 0,10 \mathrm{~mol} \mathrm{H}_{2(\mathrm{~g})} e uma de 0,10 \mathrm{~mol} \mathrm{Br}_{2(\mathrm{~g})} são colocadas em um recipiente fechado de 2,0 \mathrm{~L}. Deixa-se que a reação \mathrm{H}_{2(\mathrm{~g})}+\mathrm{Br}_{2(\mathrm{~g})} \rightleftharpoons 2 \mathrm{HBr}_{(\mathrm{g})} atinja o equilíbrio. Uma amostra de 0,20 \mathrm{~mol} \mathrm{HBr} é colocada em um segundo recipiente fechado de 2,0 \mathrm{~L}, na mesma temperatura, e deixa-se que atinja o equilíbrio com \mathrm{H}_{2} e \mathrm{Br}_{2}.
Quais das quantidades a seguir serão diferentes nos dois recipientes? Quais serão iguais? Explique suas respostas.
concentração de \mathrm{H}_{2};

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Dois recipientes, mesma temperatura e mesmo volume 2{,}0\\ \mathrm{L}.
  • Recipiente I: inicialmente 0{,}10\\ \mathrm{mol} de \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} e 0{,}10\\ \mathrm{mol} de \mathrm{Br}_{2(\mathrm{g})}. Nada de \mathrm{HBr} inicialmente.
  • Recipiente II: inicialmente 0{,}20\\ \mathrm{mol} de \mathrm{HBr}_{(\mathrm{g})}. Nada de \mathrm{H}_{2} nem de \mathrm{Br}_{2} inicialmente.
  • Reação em equilíbrio em ambos: \mathrm{H}_{2}+\mathrm{Br}_{2}\rightleftharpoons 2\mathrm{HBr}.
    Pergunta que vou responder: a concentração de \mathrm{H}_{2} no equilíbrio será a mesma ou diferente nos dois recipientes? (Explicar passo a passo.)

Passo 2

Defino variáveis e escrevo as concentrações iniciais (concentração = mol/volume).
  • Volume comum: V=2{,}0\\ \mathrm{L}.
  • Recipiente I (início): [\mathrm{H}_2]_0=\dfrac{0{,}10}{2{,}0}=0{,}050\\ \mathrm{M}. [\mathrm{Br}_2]_0=0{,}050\\ \mathrm{M}. [\mathrm{HBr}]_0=0.
  • Para o equilíbrio no recipiente I, defino x = número de mols de \mathrm{H}_2 que reagem (mol). Então, em mols no equilíbrio: n(\mathrm{H}_2)=0{,}10-x,\qquad n(\mathrm{Br}_2)=0{,}10-x,\qquad n(\mathrm{HBr})=0+2x.Convertendo para concentrações (dividindo por V=2{,}0\\ \mathrm{L}): [\mathrm{H}_2]_1=\dfrac{0{,}10-x}{2{,}0}=0{,}050-\dfrac{x}{2},\qquad [\mathrm{Br}_2]_1=0{,}050-\dfrac{x}{2},\qquad [\mathrm{HBr}]_1=\dfrac{2x}{2{,}0}=x.

Passo 3

Escrevo a expressão da constante de equilíbrio K_c e obtenho uma relação entre x e K_c.
  • Definição de K_c para a reação: K_c=\dfrac{[\mathrm{HBr}]^{2}}{[\mathrm{H}_2][\mathrm{Br}_2]}.
  • Substituindo as concentrações do recipiente I: K_c=\dfrac{x^{2}}{\left(0{,}050-\dfrac{x}{2}\right)^{2}}.
  • Tomando raiz quadrada (assumindo concentrações positivas): \sqrt{K_c}=\dfrac{x}{0{,}050-\dfrac{x}{2}}.Isolando x e em seguida obtendo [\mathrm{H}_2]_1: x=\sqrt{K_c}\left(0{,}050-\dfrac{x}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad x\left(1+\dfrac{\sqrt{K_c}}{2}\right)=0{,}050\sqrt{K_c}.Assim x=\dfrac{0{,}050\sqrt{K_c}}{1+\dfrac{\sqrt{K_c}}{2}}.Agora calculo [\mathrm{H}_2]_1: [\mathrm{H}_2]_1=0{,}050-\dfrac{x}{2} =0{,}050-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{0{,}050\sqrt{K_c}}{1+\dfrac{\sqrt{K_c}}{2}}.Faço uma simplificação algébrica para essa expressão: note que 1+\dfrac{\sqrt{K_c}}{2}=\dfrac{2+\sqrt{K_c}}{2}, então [\mathrm{H}_2]_1 =\dfrac{0{,}050\,(2)}{2+\sqrt{K_c}} =\dfrac{0{,}10}{2+\sqrt{K_c}}.

Passo 4

Faço a mesma análise para o recipiente II (aquele que começou só com \mathrm{HBr}).
  • Recipiente II (início): [\mathrm{HBr}]_0=\dfrac{0{,}20}{2{,}0}=0{,}10\\ \mathrm{M}. [\mathrm{H}_2]_0=0, [\mathrm{Br}_2]_0=0.
  • No equilíbrio, chamo z = número de mols de \mathrm{H}_2 formados (mol). Pela estequiometria 2 mol de \mathrm{HBr} dão 1 mol de \mathrm{H}_2, então em mols: n(\mathrm{H}_2)=z,\qquad n(\mathrm{Br}_2)=z,\qquad n(\mathrm{HBr})=0{,}20-2z.Convertendo para concentrações: [\mathrm{H}_2]_2=\dfrac{z}{2{,}0}=\dfrac{z}{2},\qquad [\mathrm{Br}_2]_2=\dfrac{z}{2},\qquad [\mathrm{HBr}]_2=\dfrac{0{,}20-2z}{2{,}0}=0{,}10-z.
  • Escrevo K_c para o recipiente II: K_c=\dfrac{(0{,}10-z)^{2}}{\left(\dfrac{z}{2}\right)^{2}} =\dfrac{(0{,}10-z)^{2}}{\dfrac{z^{2}}{4}} =4\,\dfrac{(0{,}10-z)^{2}}{z^{2}}.Tomando raiz quadrada: \sqrt{K_c}=2\,\dfrac{0{,}10-z}{z}.Isolando z: \sqrt{K_c}=\dfrac{0{,}20}{z}-2 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{0{,}20}{z}=2+\sqrt{K_c} \quad\Rightarrow\quad z=\dfrac{0{,}20}{2+\sqrt{K_c}}.Agora [\mathrm{H}_2]_2=\dfrac{z}{2}, logo [\mathrm{H}_2]_2=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{0{,}20}{2+\sqrt{K_c}}=\dfrac{0{,}10}{2+\sqrt{K_c}}.

Passo 5

Comparo as duas expressões encontradas para [\mathrm{H}_2].
  • Do recipiente I obtivemos [\mathrm{H}_2]_1=\dfrac{0{,}10}{2+\sqrt{K_c}}.
  • Do recipiente II obtivemos [\mathrm{H}_2]_2=\dfrac{0{,}10}{2+\sqrt{K_c}}.
Portanto
[\mathrm{H}_2]_1=[\mathrm{H}_2]_2.
Isto mostra algebraicamente que as concentrações de \mathrm{H}_2 no equilíbrio são iguais nos dois recipientes, independentemente do valor numérico de K_c (contanto que a temperatura — e portanto K_c — seja a mesma).

Passo 6

Interpretação física curta e encorajamento:
  • A razão é que K_c (mesma temperatura) fixa a relação entre as concentrações no equilíbrio; dado o volume e as quantidades iniciais escolhidas, a solução algébrica leva às mesmas concentrações de \mathrm{H}_2 em ambos os casos. Em termos práticos: começar com \mathrm{H}_2 e \mathrm{Br}_2 em quantidades estequiométricas iguais ou começar com \mathrm{HBr} na quantidade correspondente são condições “complementares” que conduzem ao mesmo equilíbrio para \mathrm{H}_2.
  • Força moral: quando a temperatura é a mesma, sempre vale escrever as expressões de equilíbrio, usar K_c e comparar — frequentemente a igualdade ou diferença aparece por simples álgebra, como aqui. Vai dar certo na prova!

Resposta

A concentração de \mathrm{H}_2 é igual nos dois recipientes.

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