Uma amostra de 10 observaçőes independentes, de uma população normal com média média e variância iguais a 2 , é coletada. Determine a probabilidade da média amostral estar entre 0 e 3 . Apresente sua resposta com quatro casas decimais.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre uma amostra de 10 observações independentes retiradas de uma população normal com média igual a 2 e variância igual a 2. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de a média amostral estar entre 0 e 3. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre a distribuição da média amostral e usar a distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma população normal, a média amostral também segue uma distribuição normal. A média da distribuição da média amostral é a mesma da população, ou seja, $ \mu_{\bar{X}} = \mu = 2 $.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a variância da média amostral. A variância da média amostral é igual à variância da população dividida pelo tamanho da amostra. Então:
sigmabarX^2 = sigma^2n = 210 = 0,2
A raiz quadrada disso nos dá o desvio padrão da média amostral:
sigmabarX = raiz0,2 approx 0,4472

Passo 4

Agora, queremos encontrar $ P(0 < \bar{X} < 3) $. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do z-score:
P(0 < barX < 3)
Para $ \bar{X} = 0 $:
z = barX - mubarXsigmabarX
Para $ \bar{X} = 3 $:
barX = 0

Passo 5

Com os valores de z calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão (tabela z) para encontrar as probabilidades correspondentes. A probabilidade de $ Z $ estar entre $ z_1 $ e $ z_2 $ é:
Z
Consultando a tabela:
z1
z2
Então:
P(z1 < Z < z2) = P(Z < z2) - P(Z < z1)

Resposta

A probabilidade de a média amostral estar entre 0 e 3 é de aproximadamente 0,9875.

Exercícios relacionados