Uma amostra de 10 observaçőes independentes, de uma população normal com média média e variância iguais a 2 , é coletada. Determine a probabilidade da média amostral estar entre 0 e 3 . Apresente sua resposta com quatro casas decimais.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre uma amostra de 10 observações independentes retiradas de uma população normal com média igual a 2 e variância igual a 2. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de a média amostral estar entre 0 e 3. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre a distribuição da média amostral e usar a distribuição normal padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma população normal, a média amostral também segue uma distribuição normal. A média da distribuição da média amostral é a mesma da população, ou seja, $ \mu_{\bar{X}} = \mu = 2 $.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a variância da média amostral. A variância da média amostral é igual à variância da população dividida pelo tamanho da amostra. Então:
A raiz quadrada disso nos dá o desvio padrão da média amostral:
Passo 4
Agora, queremos encontrar $ P(0 < \bar{X} < 3) $. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do z-score:
Para $ \bar{X} = 0 $:
Para $ \bar{X} = 3 $:
Passo 5
Com os valores de z calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão (tabela z) para encontrar as probabilidades correspondentes. A probabilidade de $ Z $ estar entre $ z_1 $ e $ z_2 $ é:
Consultando a tabela:
Então:
Resposta
A probabilidade de a média amostral estar entre 0 e 3 é de aproximadamente 0,9875.