Uma amostra de 11 valores da variável aleatória X, que tem distribuição normal, apresentou os valores tabelados a seguir:
Valores de |c|c| hline Valores de $X$ & Frequência hline 4,5 & 4 hline 4,0 & 4 hline 3,5 & 2 hline 3,0 & 1 hline Frequência
4,5 4
4,0 4
3,5 2
3,0 1
a) Determine as estimativas da média e do desvio padrão de X.
b) Determine o intervalo de 95 % confiança para a média da população.
c) Determine o tamanho que deveria ter a amostra para que a média da amostra diferisse da média da população de 0,2 unidade ou menos, ao nível de confiança de 99%.
d) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que a média da população é igual a 3,7 contra a hipótese de que a média da população é maior que 3,7.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho de uma variável normalmente distribuída, cujos valores e frequências são:
Pede-se:
a) estimativas pontuais de média e desvio-padrão;
b) intervalo de confiança de para a média;
c) tamanho de amostra para erro máximo de na média com de confiança;
d) teste ao nível de de versus .

Passo 2

Calcular a média amostral bar x e o desvio-padrão amostral s.
A média é
bar x =1nsumi xi,fi =4,5cdot4 + 4,0cdot4 + 3,5cdot2 + 3,0cdot111 =18 + 16 + 7 + 311 =4,0
O somatório dos quadrados dos desvios é
sumi (xi-bar x)^2fi =(4,5-4)^2cdot4 + (4-4)^2cdot4 + (3,5-4)^2cdot2 + (3-4)^2cdot1 =0,25cdot4 + 0 + 0,25cdot2 + 1cdot1 =2,5
Logo, a variância amostral é
s^2 =1n-1sumi(xi-bar x)^2fi =2,510 =0,25,
de onde s=0,5.

Passo 3

Intervalo de confiança de 95% para mu usando t de Student com df=10.
A fórmula é
bar x pm t0,975;10,sraizn
Na tabela, t0,975;10=2,228. O erro padrão é
sraizn=0,5raiz11approx0,1508,
e a margem de erro
2,228times0,1508approx0,336
Portanto
IC95%=(4,0-0,336,;4,0+0,336)=(3,664,;4,336)

Passo 4

Para que o erro máximo E=0,2 na média seja garantido com 99% de confiança, usa-se
n =(z0,995,sigmaE)^2
Adotando sigmaapprox s=0,5 e z0,995=2,576, vem
n =l(2,576times0,50,2r)^2 =l(2,576times2,5r)^2 =6,44^2approx41,5,
isto é, napprox42.

Passo 5

Teste de H0colonmu=3,7 versus H1colonmu>3,7 com alpha=0,05.
A estatística é
t =bar x - mu0s/raizn =4,0-3,70,5/raiz11 =0,30,1508 approx1,99
O crítico para df=10 em teste unilateral é t0,95;10=1,812. Como 1,99>1,812, rejeitamos H0. O p-valor é cerca de 0,039, abaixo de 0,05.

Resposta

a) bar x=4,0, s=0,5.
b) IC95%=(3,664,;4,336).
c) napprox42.
d) t=1,99> crítico 1,812, logo rejeita-se H0 (p approx 0,039).

Exercícios relacionados