Uma amostra de nove elementos de uma população infinita forneceu os seguintes valores: 3,4 , 5,3,6,11,8, 2 e 3.
a) Determine a média aritmética, a mediana e a(s) moda(s) da amostra.
b) Calcule a estimativa não tendenciosa da variância.
c) Admitindo que a variável observada tenha distribuição normal com média mu, teste a hipótese de H0: mu=3 contra a hipótese alternativa HA: mu>3, ao nível de significância de 5 %.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=9 retirada de uma população infinita, com os valores
3, 4, 5, 3, 6, 11, 8, 2 e 3.
Precisamos calcular: média aritmética, mediana, moda; a estimativa não tendenciosa da variância; e, assumindo normalidade, testar
H0:mu=3 vs HA:mu>3
ao nível alpha=5%.

Passo 2

Para achar média, mediana e moda, primeiro ordenamos os dados:
2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 11.
A média aritmética é
bar x = 2+3+3+3+4+5+6+8+119 = 459 = 5
Como n é ímpar, a mediana é o tfracn+12=5º valor:
mediana = 4
A moda é o valor que aparece com maior frequência, ou seja,
moda = 3

Passo 3

Para a estimativa não tendenciosa da variância usamos
s^2 = 1n-1sumi=1^n(xi-bar x)^2
Calculando cada desvio ao quadrado e somando, obtemos sum(xi-5)^2=68. Logo,
s^2 = 689-1 = 688 = 8,5

Passo 4

Como a variância é desconhecida e supomos normalidade, usamos o teste t. A estatística de teste é
t0 = bar x - mu0raizs^2/n = 5 - 3raiztfrac8,59 approx 2,058
Esse valor segue t com n-1=8 graus de liberdade. Para um teste unilateral à direita com alpha=0,05, o valor crítico é
t0,05;8 approx 1,860
Como t0=2,058 > 1,860, rejeitamos H0 ao nível de 5%, concluindo que há evidência de mu>3.

Resposta

a) bar x = 5, mediana =4, moda =3.
b) s^2=8,5.
c) t0approx2,058, valor crítico t0,05;8approx1,860. Rejeita-se H0 ao nível de 5%.

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