Uma amostra de 12 valores da variável aleatória X, com distribuição normal e população infinita, apresentou os valores 10,8,7,2,8,6,5,2,10,7,9 e 10.
a) Determine as estimativas da média e do desvio padrão de X.
b) Determine o intervalo de 90 % confiança para a média da população.
c) Determine o tamanho que deveria ter a amostra para que a média da amostra diferisse da média da população em uma unidade ou menos, ao nível de confiança de 95 %.
d) Teste, ao nível de significância de 5 %, a hipótese de que a média da população é igual a 5 contra a hipótese de que a média da população é maior que 5.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=12 retirada de uma população com distribuição normal e infinita, cujos valores são
10,8,7,2,8,6,5,2,10,7,9,10
Pede-se:
  • a) estimativas pontuais de média e desvio-padrão;
  • b) intervalo de confiança de 90% para a média;
  • c) tamanho de amostra para erro máximo de 1 unidade em 95% de confiança;
  • d) teste ao nível alpha=5% de H0:mu=5 contra Ha:mu>5.
Os conteúdos usados serão estimadores amostrais, intervalo de confiança pelo t de Student, cálculo de n via z e teste t unilateral.

Passo 2

Calcular a média amostral bar x e o desvio-padrão amostral s.
A soma dos valores é
sumi=1^12xi = 84,
logo
bar x = 8412 = 7
O somatório dos quadrados dos desvios é
sumi=1^12(xi-bar x)^2 = 88
e o desvio-padrão amostral é
s = raiz1n-1sumi=1^n(xi-bar x)^2 = raiz8811 = raiz8 approx 2,828

Passo 3

Construir o intervalo de confiança de 90% para mu quando sigma é desconhecida. Usa-se
bar x pm t,alpha/2,,n-1,sraiz n,
onde alpha=0,10, n-1=11 e t0,05,11approx1,795. O erro padrão é
sraiz n = 2,828raiz12approx0,8165,
logo a margem de erro é
1,795times0,8165approx1,465
e o intervalo é
7 pm 1,465 ;Longrightarrow; [5,535,;8,465]

Passo 4

Para obter n tal que o erro máximo seja E=1 em 95% de confiança, usa-se
E = z,alpha/2,sigmaraiz n
Como sigma é desconhecida, substituímos por s. Com alpha=0,05, z0,025=1,96, temos
n = (1,96,sE)^2 = (1,96times2,8281)^2 approx30,7,
arredondando para cima, n=31.

Passo 5

Testar H0:mu=5 vs.\ Ha:mu>5 ao n\u00edvel alpha=0,05. O estat\u00edstico \u00e9
t = barx - 5s/raizn = 7-52,828/raiz12 approx 20,8165 approx 2,449
O valor cr\u00edtico unilateral em 11 graus de liberdade \u00e9 t0,05,11approx 1,796. Como
2,449 > 1,796,
rejeitamos H0 e conclu\u00edmos que mu>5.

Resposta

a) bar x = 7, s = raiz8approx2,828
b) Intervalo de 90%: [5,535,;8,465].
c) napprox31.
d) tapprox2,449>1,796Rightarrow rejeita-se H0 ao nível de 5%.

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