Uma amostra de 12 valores da variável aleatória , com distribuição normal e população infinita, apresentou os valores e 10.
a) Determine as estimativas da média e do desvio padrão de .
b) Determine o intervalo de confiança para a média da população.
c) Determine o tamanho que deveria ter a amostra para que a média da amostra diferisse da média da população em uma unidade ou menos, ao nível de confiança de .
d) Teste, ao nível de significância de , a hipótese de que a média da população é igual a 5 contra a hipótese de que a média da população é maior que 5.
Passo 1
O enunciado nos dá uma amostra de tamanho retirada de uma população com distribuição normal e infinita, cujos valores são
Pede-se:
a) estimativas pontuais de média e desvio-padrão;
b) intervalo de confiança de para a média;
c) tamanho de amostra para erro máximo de unidade em de confiança;
d) teste ao nível de contra .
Os conteúdos usados serão estimadores amostrais, intervalo de confiança pelo de Student, cálculo de via e teste unilateral.
Passo 2
Calcular a média amostral e o desvio-padrão amostral .
A soma dos valores é
logo
O somatório dos quadrados dos desvios é
e o desvio-padrão amostral é
Passo 3
Construir o intervalo de confiança de 90% para mu quando sigma é desconhecida. Usa-se
bar x pm t,alpha/2,,n-1,sraiz n,
onde alpha=0,10, n-1=11 e t0,05,11approx1,795. O erro padrão é
sraiz n = 2,828raiz12approx0,8165,
logo a margem de erro é
1,795times0,8165approx1,465
e o intervalo é
7 pm 1,465 ;Longrightarrow; [5,535,;8,465]
Passo 4
Para obter n tal que o erro máximo seja E=1 em 95% de confiança, usa-se
E = z,alpha/2,sigmaraiz n
Como sigma é desconhecida, substituímos por s. Com alpha=0,05, z0,025=1,96, temos
n = (1,96,sE)^2 = (1,96times2,8281)^2 approx30,7,
arredondando para cima, n=31.
Passo 5
Testar H0:mu=5 vs.\ Ha:mu>5 ao n\u00edvel alpha=0,05. O estat\u00edstico \u00e9