Um fabricante garante que 90 % dos equipamentos que fornece a uma fábrica estão de acordo com as especificações exigidas. O exame de uma amostra de 200 peças desse equipamento revelou 25 defeituosas. Teste a afirmativa do fabricante, nos níveis de 5 % e 1 %.
9) Uma amostra de quatro valores da variável aleatória X, com distribuição normal, apresentou os valores 4, 8, 4e 4.
a) Determine as estimativas da média e do desvio padrão de X.
b) Determine o intervalo de 95 % de confiança para a média da população.
c) Teste, ao nível de confiança de 5 %, a hipótese de que a média da população é mu=2,5, contra a hipótese de que a média da população é maior que 2,5 .

Passo 1

Para testar a proporção, definimos H0: p = 0.9 vs H1: p neq 0.9. Na amostra de n=200 houve 25 defeituosas, ou seja 175 conformes, logo hat p = 175/200 = 0.875. Sob H0, o erro padrão é raiz0.9cdot0.1/200.
O estatístico é z = (hat p - 0.9)/raiz0.9cdot0.1/200 approx -1.178. No nível de 5%, a região de rejeição bicaudal é |z|>1.96. Como |-1.178|<1.96, não rejeitamos H0 a 5%.
No nível de 1%, a região de rejeição bicaudal é |z|>2.575. Como |-1.178|<2.575, não rejeitamos H0 a 1%.

Passo 2

No exercício 9, temos amostra de n=4 de Xsim N(mu,sigma^2). Precisamos estimar mu e sigma (desvio padrão amostral não viesado).
A média amostral é bar x = (4+8+4+4)/4 = 5. As somas dos quadrados das diferenças é 1+9+1+1 = 12. Como usamos n-1=3, o estimador não viesado de variância é s^2 = 12/3 = 4 e s = 2.

Passo 3

O IC de 95% para mu é bar x pm t3,,0.025cdot (s/raizn) com t3,,0.025approx3.182 e s/raiz4=1. Logo o IC é 5pm3.182, ou seja [1.818;8.182].

Passo 4

Para testar H0: mu=2.5 vs H1: mu>2.5 a 5%, calculamos t = (5-2.5)/(2/raiz4) = 2.5. O valor crítico unicaldal é t3,,0.05approx2.353. Como 2.5>2.353, rejeitamos H0 e concluímos mu>2.5.

Resposta

No teste de proporção, em ambos os níveis (5% e 1%) não rejeitamos H0, de modo que não há evidência contra a afirmação de que 90% dos equipamentos estão conformes. No exercício 9: a) bar x=5, s=2. b) IC95% para mu: [1.818;8.182]. c) Como t=2.5>2.353, rejeitamos H0 e concluímos que mu>2.5 ao nível de 5%.

Exercícios relacionados