Uma amostra de 12 cabos de aço apresentou as seguintes resistências, em kg:
148 141 152 159 158 167 157 143 158 150 144 166
Verifique se o tamanho da amostra é suficiente para estimar a resistência média dos cabos com erro máximo igual a 5 e 99 % de confiança.

Passo 1

Então, temos um exercício de Estatística onde precisamos verificar se uma amostra de 12 cabos de aço é suficiente para estimar a resistência média desses cabos. A resistência foi medida em kg e os valores são:
148, 141, 152, 159, 158, 167, 157, 143, 158, 150, 144, 166.
Queremos estimar essa média com um erro máximo de 5 kg e um nível de confiança de 99%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estimativa de intervalo de confiança para a média, especialmente quando trabalharmos com amostras pequenas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média ( barx) da amostra. Somamos todas as resistências e dividimos pelo número de cabos (12):
barx = 148 + 141 + 152 + 159 + 158 + 167 + 157 + 143 + 158 + 150 + 144 + 16612
Calculando:
barx = 180312 = 150,25 , kg

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o desvio padrão da amostra ( s). Primeiro, calculamos cada desvio ao quadrado:
s^2 = sum (xi - barx)^2n-1
Vamos calcular cada (xi - barx)^2:
(148 - 150,25)^2 &= 5,0625 (141 - 150,25)^2 &= 85,5625 (152 - 150,25)^2 &= 3,0625 (159 - 150,25)^2 &= 76,5625 (158 - 150,25)^2 &= 59,0625 (167 - 150,25)^2 &= 283,0625 (157 - 150,25)^2 &= 45,5625 (143 - 150,25)^2 &= 52,5625 (158 - 150,25)^2 &= 59,0625 (150 - 150,25)^2 &= 0,0625 (144 - 150,25)^2 &= 39,0625 (166 - 150,25)^2 &= 249,0625
Somando todos esses valores:
sum (xi - barx)^2 = 5,0625 + 85,5625 + 3,0625 + 76,5625 + 59,0625 + 283,0625 + 45,5625 + 52,5625 + 59,0625 + 0,0625 + 39,0625 + 249,0625 = 997,5
Então,
s^2 = 997,512 - 1 = 997,511 approx 90,68
E o desvio padrão:
s approx raiz90,68 approx 9,52 , kg

Passo 4

Com a média e o desvio padrão, podemos construir o intervalo de confiança para a média com 99% de confiança. Como a amostra é pequena (n < 30) e não sabemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student.
A fórmula para o intervalo de confiança é:
barx pm talpha/2 cdot sraizn
Onde:
  • barx é a média da amostra,
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t para 99% de confiança e n-1 graus de liberdade,
  • s é o desvio padrão da amostra,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 5

Primeiro, encontramos o valor crítico talpha/2 para 99% de confiança e 11 graus de liberdade (n-1 = 12-1=11). Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que:
t0,005 approx 3,106

Passo 6

Agora, aplicamos os valores na fórmula:
150,25 pm 3,106 cdot 9,52raiz12
Calculando o erro máximo:
3,106 cdot 9,523,464 approx 3,106 cdot 2,752 approx 8,53 , kg

Passo 7

O erro máximo que conseguimos com essa amostra é de aproximadamente 8,53 kg, mas nosso objetivo era ter um erro máximo de 5 kg. Como 8,53 kg é maior que 5 kg, a amostra de 12 cabos não é suficiente para atingir o erro desejado com 99% de confiança.

Resposta

A amostra de 12 cabos de aço não é suficiente para estimar a resistência média com um erro máximo de 5 kg e 99% de confiança.

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