Uma amostra de 12 cabos de aço apresentou as seguintes resistências, em kg:
148 | 141 | 152 | 159 | 158 | 167 | 157 | 143 | 158 | 150 | 144 | 166 |
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Verifique se o tamanho da amostra é suficiente para estimar a resistência média dos cabos com erro máximo igual a 5 e
de confiança.
Passo 1
Então, temos um exercício de Estatística onde precisamos verificar se uma amostra de 12 cabos de aço é suficiente para estimar a resistência média desses cabos. A resistência foi medida em kg e os valores são:
148, 141, 152, 159, 158, 167, 157, 143, 158, 150, 144, 166.
Queremos estimar essa média com um erro máximo de 5 kg e um nível de confiança de 99%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estimativa de intervalo de confiança para a média, especialmente quando trabalharmos com amostras pequenas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média (
) da amostra. Somamos todas as resistências e dividimos pelo número de cabos (12):
Calculando:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o desvio padrão da amostra (
). Primeiro, calculamos cada desvio ao quadrado:
Vamos calcular cada
:
Somando todos esses valores:
Então,
E o desvio padrão:
Passo 4
Com a média e o desvio padrão, podemos construir o intervalo de confiança para a média com 99% de confiança. Como a amostra é pequena (n < 30) e não sabemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student.
A fórmula para o intervalo de confiança é:
Onde:
-
é a média da amostra, -
é o valor crítico da distribuição t para de confiança e graus de liberdade, -
é o desvio padrão da amostra, -
é o tamanho da amostra.
Passo 5
Primeiro, encontramos o valor crítico
para 99% de confiança e 11 graus de liberdade (n-1 = 12-1=11). Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que:
Passo 6
Agora, aplicamos os valores na fórmula:
Calculando o erro máximo:
Passo 7
O erro máximo que conseguimos com essa amostra é de aproximadamente 8,53 kg, mas nosso objetivo era ter um erro máximo de 5 kg. Como 8,53 kg é maior que 5 kg, a amostra de 12 cabos não é suficiente para atingir o erro desejado com 99% de confiança.
Resposta
A amostra de 12 cabos de aço não é suficiente para estimar a resistência média com um erro máximo de 5 kg e 99% de confiança.